（2） 求由y?f(x)，y?0,x?1所围成图像绕x轴一周所围成的旋转体体积。
312、 已知某制造商的生产函数为f(x,y)?100x4y4，式中x代表劳动力的数量，y为资
本数量。
每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元和250元。该制造商的总预算为50000元。问
他该如何分配这笔钱于雇佣劳动力和资本，以使生成量最高。 五、证明题。
已知函数f(x)二阶连续可导，且lim1）内
至少存在一点?，使得f??(?)?0
f(x)xx?0?0,f(0)?0,f(1)?0，试证：在区间（0，
11
高等数学模拟试卷（三）
说明：考试时间120分钟，试卷共150分。
题 号 分 数 得 分 评卷人
一、单项选择题（每小题2分，共60分。在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内。） 一 二 三 四 五 总 分
1. 下列函数相等的是 【 】 A y?1,y?y?xx B y?(x?4),y?2x?2x?2 C y?x,y?cos(arccosx) D
2x,y?|x|
??1,x?0?2. 设sgnx??0,x?0，则
?1,x?0?kxlimsgnx? 【 】
x?A -1 B 1 C 不存在 D 0 3. 若lim(1?x???)?2，则常数k＝ 【 】
xA e2 B
e C ln2 D ?ln2
4. 可补充在x?0点的定义，使其为连续函数的f(x)是______。 【 】
2xx21A f(x)?sin
B f(x)?ex C f(x)?sin1x D f(x)?1x?x?1x2
5. 若sinx是f(x)的一个原函数，则limf(x)?f(x?h)hx???______。 【 】
A sinx B cosx C ?sinx D ?cosx
6. 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 【 】 A 必有最大值或最小值 B 既有最大值又有最小值 C 既有极大值又有极小值 D 至少存在一点使得f?(?)?0 7. 设f(x)为可导函数且满足limf(1)?f(1?x)2x12
x?0??1，则f?(1)? 【 】
A 2 B －1 C 1 D －2 8. 设函数f(x)具有2009阶导数，且f(2007)2(x)?[f(x)],则f(2009) (x)? 【 】
A 2f(x)f?(x) B 2[(f?(x))2?f(x)f??(x)] C [(f?(x))2?f?(x)f??(x)] D f(x)f??(x) 9. 曲线y?4x?1(x?1)2 【A 只有垂直渐近线 B 只有水平渐近线
C 既有垂直又有水平渐近线 D既无垂直又无水平渐近线
10.曲线y?x4?24x2?6x的下凹区间为 【A （?2,2） B (??,0) C （0,??） D (??,??)
11. 若f(u)可导，且y?f(ex)，则有______ 【A dy?f?(ex)dx B dy?f?(ex)exdx C dy?f(ex)exdxD dy?[f(ex)]?exdx
12.函数f(x)?x3?2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中?为 【A 12 B
22 C
33 D
23
13. 已知d[e?xf(x)]?exdx，f(0)?0，则f(x)?______。 【 A e2x?ex Ｂ e2x?ex Ｃe2x?e?x Ｄ e2x?e?x
14. 若?f(x)dx?lnx?x?c，则?xf(x)dx? 【A
1?lnxx2?c B
12lnxx?c C xlnx?x?c D
1?x?c
15. 下列积分不为０的是 【A
???B
1?xsinx??cosxdx ?2sinxcosxdx C
??2??1edx D
?2??2?1?(sinx)2dx
16. 下列式子中不成立的是 【??A ?21lnxdx??231(lnx)dx B
?20sinxdx??2
0xdxC
?20ln(1?x)dx??20xdx D
?2x0edx??20(1?x)dx
17. 设函数bbf(x)在区间[a,b]上连续，则?af(x)dx??af(t)dt? 【 13
】
】 】 】
】
】 】 】
】 A 大于零 B 小于零 C 等于零 D 不确定 18. 广义积分???22dxx?x?2 【 】
31ln2 C收敛于ln2 D 发散 23 A 收敛于ln2 B收敛于
3219. 方程：x2?y2?z?0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是 【 】
A 球面 B 圆锥面 C 旋转抛物面 D 圆柱面
20. 设函数z?f(x,y)由连续二阶偏导数，fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，fxy(x0,y0)?0， fxx(x0,y0)?0，fyy(x0,y0)?0，则(x0,y0)为___________。 【 】Ａ 是极小值点 B 是极大值点 C 不是极值点 D 是否为极值点不定 21．要使函数f(x,y)?【 】
A 0 B 4 C
14''''''''2?x?y?4x?y2222在点?0,0?处连续，应补充定义f(0,0)?_____。
D ?14
?z?z＝ 【 】 ??x?y1(x?y?z?1)1e2z22. 方程x?y?z?ez确定了z?z(x,y)，则
A
1ez B
1(x?y?z?1)2 C D
?1
23. 设f(x,y)在点(a,b)处有偏导数存在，则有limf(a?h,b)?f(a?h,b)hh?0? 【 】
A 0 B 2fx?(a,b) C fx?(a,b) D fx?(a,b) 24. 设I?40yy2?40dx?2xx f(x,y)dy,交换积分次序后，I? 【 】
4004y2A C
??dy?f(x,ydx) B
41?dy?4?yyf(x,y)dx
40dy?1f(x,y)dx D
4?dy?y2f(x,y)dx
425. 把积分?dy?0aa?y022f(x,y)dx化为极坐标形式为 【 】
A C
??2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr B
0a?2?0d???cos?0f(rcos?,rsin?)dr
a0?20d??asin?0f(rcos?,rsin?)rdr D
?20d??f(rcos?,rsin?)rdr
26. 设L为以点o(0,0)，A(1,0),B(1,1),D(0,1)为顶点的正方形正向边界，则
14
??xydy?xydx＝ 【 】
L22A 1 B 2 C 3 D 0
27. 函数f(x)?ln(1?x)的幂级数展开式为__________. 【 】
x2A.x?2?x33??,?1?x?1 B. x?x22x?x33x??,?1?x?1
C. ?x?x22?x3233??,?1?x?1 D. ?x?2?3??,?1?x?1
?28.设幂级数?an(x?2)n在x?6处收敛，则该级数在x??3处 【 】
n?1A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性不定
29. 下列微分方程中，一阶线性非齐次方程是_______. 【 】 A.(y2?x)dy?ydx B.y??e2x?y C.xy??y?0 D.xy??y?x?y22
30.二阶微分方程(1?y)y???2(y?)2?0降阶时，令p?y?，则需将y??转化为 【 】 A
dpdx B x
dpdx C
dpdy D pdpdy
得 分 评卷人
二、填空题（每小题2分，共30分）
231. 函数y?(4x?3)（x?0）的反函数是________
32. 已知当x?0时，f(x)与1?cosx等价，则limf(x)xsinxx?0?______
33. 设y?f(x)在点x?c处可导，且在此点处取得极值，则曲线y?f(x)在点x?c处的切线方程为__________.
34.函数f(x)?x?2x?5在区间[?2,2]上的最大值为_________ 35函数f(x)?x?cosx的单调增加区间为________ 36.若F?(x)?f(x)，则?(x2?1)f(x3?3x?1)dx?________ 37.设x?f(t)dt?e1x?x2422?1e，则f(1)?________
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