47. 取对数
1ylnx?1xlny 即xlnx?ylny 所以 lnx?1?y'lny?y'，
即y'?1?lnx，y'(1,1)1?lny?1?k，所以切线方程为y?1?2xe2xx?1,即y?x
48．由于xf(x)?2e,f(x)?49
令t?x?1则有
?212,?x2e?2xdx??14xe?2x?18e2?2x?c
1?xf(x?1)d?x?1?12f(t)??dt?012?(1?x?)dx0
edx 50.ye?12?x303?e?12?x10?3724?e?1
xyz(z?xz?)?z??ycosxy?0,?z??xxxxyzycosxy?yze1?xyexyzxyz
xcosxy?xze1?xyexyzxyz同理有z?y51. 令
?xcosxy?xze1?xyexyz，故dz?ycosxy?yze1?xyexyzxyzdx?dy
?x?rcos???y?rsin??22 则
2cos???Dx?yd???2??d???20rdr2???2?213?8cos?d??3329?
52.令t?2x?3，t级数为?n?1?tn2n?1 得??lim2n?12n?1n???1,R?1又 t??1时，级数
?n?1(?1)n2n?1收敛，所以收敛域为[?1,1)??1?2x?3?1,1?x?2
2f(x)?1?f?(x)
?2dx?(?1)dx]?e2x[c?1/2e?2x]e?53. 由题意知 即又
??2dxy??2y??1,?y?e?[c?
f(0)?1,?f(x)?1/2(1?e2x)
四应用题
54.L?5(20?x2?10x?2y2?5y)?x?2y?100?5x2?49
21
x?10y?23y2
所以
???10x?49LxL???20y?23y 令其为零，得x?4.9,y?1.15
2又A?L??10,B?0,C?Lyy??20,?B?AC?0，故为极小值，依题意知当
两生产要素分别为4.9，1.15时，利润最大。 55 .面积
s??30xdx?23?3?6?233?272?23
Vy?2??30xxdx?(9??3?)3(柱壳体积)?2?2?63x(6?x)dx（柱壳法）?58.5?y?x2 y?6?x y=3 3 2 3 6 五证明题
令F(x)?xf(x)，显然F(x)满足罗尔定理的条件，所以有F?(?)?0即有
f(?)??f(?)?0成立
22