第八章 欧氏空间和酉空间
§8.1向量的内积
1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,以下等式成立:
(1) ；
(2)
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?
2．在区氏空间
,
里,求向量
的夹角.
与每一向量
3．在欧氏空间 里找出两个单位向量,使它们同时与向量
中每一个正交.
4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．
5．设
是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
(勾股定理)
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6．设证明,如果
与
都是一个欧氏空间的向量,且 正交,
,那么
.
是 的线性组合.
7．设 是欧氏空间的 个向量.行列式
叫做 的格拉姆(Gram)行列式.证明 线性相关.
=0,必要且只要
8．设 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
和 都是 的整数.
证明: 的夹角只可能是 .
9.证明:对于任意实数 ,
).
§8.2 正交基
1．已知
,
,
，
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是 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 的一个规范正交基．
2．在欧氏空间求出一个规范正交组．
3．令
里,对于线性无关的向量级{1, , , }施行正交化方法,
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 是由这组
向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即
4．令 是 维欧氏空间V的一个规范正交基,又令
K叫做一个 -方体.如果每一 都等于0或1, 就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?
5．设等式成立:
是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意.
,以下
6．设V是一个 维欧氏空间.证明 如果W是V的一个子空间,那么
.
如果 都是V的子空间,且 ,那么
如果 都是V的子空间,那么
7．证明,
中向量 到平面
48
的最短距离等于 ．
8．证明,实系数线性方程组
有解的充分且必要条件是向量 与齐次线性方程组
的解空间正交.
9．令
是 维欧氏空间V的一个非零向量．令
．
称为垂直于于
的超平面,它是V的一个 维子空间.V中有两个向量 , 说是位
的同侧,如果 同侧,且两两夹角都
同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面
的非零向量一定线性无关．
[提示:设设
是满足题设条件的一组向量.则 .如果
,那么适当编号,可设
,并且不妨
,
推出
.]
,令 ,证明 .由此
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10．设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1;
U的特征根的模等于1;
如果 是U的一个特征根,那么 也是U的一个特征根;
U的伴随矩阵 也是正交矩阵.
11.设 ,且
.
证明, 可逆,并且
12.证明:如果一个上三角形矩阵
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 是1或-1.
§8.3正交变换
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