（1）
(?) = ?+ ? ，?是R3的一个固定向量． (?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3)
（2）
（3）
(?) =（x12 ，x22 ，x32）．
（4） ?() =（cosx1，sinx2，0）．
2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射 充要条件是：对于任意
是线性映射的
V，都有 ( ) = a ，这里a是F中一个定数．
3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A Mn (F).对任意
X Mn (F)，定义 (X) = AX–XA．
(i) 证明：
是Mn (F)是自身的线性映射。
(XY) =
(X)Y+X
(Y) ．
(ii) 证明：对于任意X，Y Mn (F)，
4．令F4表示数域F上四元列空间，取
A=
对于
F4，令 ( ) = A ．求线性映射 的核和像的维数．
是V到W的一个线性映射．我
n5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令 们如此选取V的一个基： Ker(
)的一个基．证明：
（i）
(
)，?，
(
)组成Im(
1
，?，
s
，
s+1
，?， ，使得
1
，?，
s
，是
s+1n)的一个基；
36
（ii）dim Ker(
6．设 并且V = W1
) + dim Im(
) = n.。
是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射．W1，W2是V的子空间，W2．证明：
有逆映射的充要条件是V =
(W1)
(W1) ．
§7.2 线性变换的运算
1．举例说明，线性变换的乘法不满足交换律． 2．在F[x]中，定义
：f (x) ：f (x)
这里f’(x)表示f(x)的导数．证明,
f’(x) ， xf (x) ，
, 都是F[x]的线性变换，并且对于任意正整数
n都有
n
–
n
= n
n-1
3．设V是数域F上的一个有限维向量空间．证明，对于V的线性变换 来说，下列三个条件是等价的：
（i）
是满射； (ii)Ker(
) = {0}; (iii)
非奇异．
当V不是有限维时，(i)，(ii)是否等价？
4．设
k
L (V)， V，并且 ， ( )，?，
k-1
k-1
( )都不等于零，但
( ) = 0．证明： ， ( )，?， ( ) 线性无关．
5．
L (V) ．证明
(1) Im(
) ) )
Ker(
)当且仅当
2
= ；
(2) Ker( Ker(
2
2
) Ker(
3
3
)
?；
(3) Im(
Im(
37
) Im( )
?．
6．设Fn = { (x1，x2 ，?，xn ) | xi F }是数域F上n 维行空间．定义
(x1，x2 ，?，xn ) = (0，x1 ，?，xn-1 ) ． (i) 证明：
是F的一个线性变换，且
) 的维数．
n
n
= ；
(ii) 求Ker( )和Im(
§7.3 线性变换和矩阵
1．令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，
：f (x)
f’(x) ，求?关于以下两个基的矩阵：
(1) 1，x ，x2 ，?，xn，
(2) 1，x–c，
，?，
关于基 {
，c F．
2．设F上三维向量空间的线性变换
1
，
2
，
3
}的矩阵是
求
关于基
= 2
+3
+
，
1123
2
= 3
1
+4
2
+
3
，
3
=
1
+2
2
+2
3
，
的矩阵．
38
设 = 2 3．设{
，
1
+
2
–
3
．求
( )关于基
1
，
2
，
3
的坐标．
12
，?，
n
}是n维向量空间V的一个基．
j
= ，
= ， j = 1，2，?，n，
并且
1
，
2
，?，
n
线性无关．又设
，
是V的一个线性变换，使得 ，?，
的矩阵．
(
j
) = ，
j = 1，2，?，n，求 关于基
4．设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似．
5．设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在F上一个非零多项式f (x)使得
f (A) = 0．
6．证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换 是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要
关于V的任意基的矩阵都相等．
7．令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间．取定一个矩阵A Mn (F) ．对任意X Mn (F)，定义 设
(X) = AX–XA． 由7.1习题3知
是Mn (F)的一个线性变换，
A =
是一个对角形矩阵．证明，
关于Mn (F)的标准基{Eij |1
}(见6.4，例5)的矩).
阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1 [建议先具体计算一下n = 3的情形．]
39
8．设 两个基{
1
是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．证明，总可以如此选取V的 ，
2
，?， ，则
n
}和{
1
，
2
，?，
n
}，使得对于V的任意向量 来
是一个定数。
说，如果 =
( ) =
1
，这里0
[提示：利用7.1，习题5选取基 ，
2
，?，
n
．]
§7.4 不变子空间
1．设 如果
是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是
-1
的一个不变子空间，证明，
有逆变换，那么W也在
之下不变．
．证明Im(
)和Ker(
)都在
2．设 之下不变．
3．
是向量空间V的线性变换，且
是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件
) = {
)
Im(
)；
}；
2
=
．证明：
(i) Ker(
(ii)V = Ker(
(iii)如果 是V的一个线性变换，那么Ker( )和Im( )都在 之下不变的充要条件是 4．设 空间都在
．
是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）．证明，V的每一个子 之下不变．
5．令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合．V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间．S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而
是V的一个线性变换，它与S
中每一线性变换可交换。证明 或者是零变换，或者是可逆变换．
40