4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得
(i) 证明
可逆，并且
(ii)求下列矩阵的逆矩阵
。
5．设
证明，
总可以表成
是n阶矩阵
和
型初等矩阵的乘积．
6．令
的伴随矩阵，证明
(区别detA≠0和detA=0两种情形)
7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆． 8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵．
9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n 1矩阵和一个 1 n矩阵的乘积．
26
10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和． 11．设A是一个n n矩阵，
记号 (i)线性方程组 位矩阵．
(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则．
表示以
代替A的第i列后所得到的
都是n 1矩阵．用矩阵．
可以改写成
I是n阶单
§5.3 矩阵的分块
1．求下面矩阵的逆矩阵．
2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明
3．设
都是n=r+s阶矩阵，而
是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？
4．证明，2n阶矩阵 总可以写成几个形如 的矩阵的乘积．
5．设
27
是一个对角线分块矩阵．证明:
6．证明，n阶矩阵 的行列式等于(detA)(detB)
7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明
第六章 向量空间
§6.1 定义和例子
1．令F是一个数域，在F3里计算
（i）
（ii）5（0，1，-1）-3（1，
2．证明：如果
（2，0，-1）+（-1，-1，2）+
，2）+（1，-3，1）．
（0，1，-1）；
a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），
那么a = b = c = 0．
3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得
28
a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）．
4．令 个向量
= （1，0，0），
= （0，1，0），
1
123
=（0，0，1）．证明，R3中每的形式，这里a1，a2，a3
可以唯一地表示为
= a1 + a2
2
+ a3
3
R．
5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：
（i）a ( (ii) (a- b) ) = a - a ；
= a - b , 这里a，b F ， , V．
6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．
7．证明，对于任意正整数n 和任意向量
，都有 n
=
+?+
．
8．证明，向量空间定义中条件3o，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式：
（
，?，
）(AB) =（（
，?，
）A）B．
1n1n
§6.2 子空间
1．判断R n中下列子集哪些是子空间：
(i) {（a1，0，?，0，an）| a1，an R}；
(ii) {（a1 ，a2 ，?，an ）| ai =0}；
(iii) {（a1 ，a2 ，?，an ）|
29
ai =1}；
(iv) {（a1 ，a2 ，?，an ）| ai Z ，i = 1，?，n}.
2．Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令
S={ A Mn (F) |A′= A}，
T={ A Mn (F) |A′= –A}．
证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T={0}．
3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间． 4．设V是一个向量空间，且V 集．
5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1 {0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并
W2且W W1=W W2，
W + W1=W + W2 .证明：W1=W2．
6．设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，
,
是V的两个向量，其中
W2，但
W1，又
W2，证明：
（i） 对于任意k F, +k
W2 ；
（ii） 至多有一个k F，使得
7．设W1，W2 ，?，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi
在一个向量
V，使得
Wi， ?i=1，?，r．
+k
W1 ．
V，i=1，?，r. 证明：存
[提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．]
§6.3 向量的线性相关性
30