[提示：令W = Ker .证明W是要的一个不变子空间．]
§7.5 本征值和本征向量
1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：
(i) ； (ii) ；(iii) ．
2．证明：对角形矩阵
与
相似必要且只要b1，b2，?，bn是a1，a2，?，an的一个排列．
3．设 A = 是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：
(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT =
．
这里 且 ，1，-1．
，那么存在可逆实矩阵T，使得
(ii) 如果| trA | = 2且A
T-1AT =
或 .．
(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及 ，使得
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T-1AT =
．
[提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根
是A的属于 的一个特征向量，计算A
4．设a，b，c =1.将 写成三角形式．令
和A
．
．令
A= ，B= ，C= ．
(i) 证明，A，B，C彼此相似；
(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零．
5．设A是复数域C上一个n阶矩阵．
(i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得
T-1AT =
．
(ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵
相似，这里主对角线以下的元素都是零．
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6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，计算）．
是A的全部特征根（重根按重数
(i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f ( 是
f(A)的全部特征根．
(ii) 如果A可逆，那么根
7．令
，并且
是A-1的全部特征
A =
是一个n阶矩阵。
(i) 计算
． (ii) 求A的全部特征根．
8． 是任意复数，行列式
D =
叫做一个循环行列式，证明： D = ，
这里 ，而 是全部n次单位根．
[提示：利用6.7两题的结果．]
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9．设A，B是复数域上n阶矩阵．证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同．[提示：参看5.3习题2．]
§7.6 可以对角化的矩阵
1．检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡矩阵T．
2．设 ， 求A10．
3．设 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．令
是属于本征值
的本征子空间．证明，子空间的和
是 的两两
不同的本征值，是直和，并在
之下不变．
4．数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做一个对合变换，如果 2 =ι,ι,是单位变换，设 是V的一个对合变换，证明:
(i)
的本征值只能是
；
的属于本征值1的本征子空间，V 是
的属于 ]
(ii) V = V1
，这里V1是
本征值 –1 的本征子空间．[提示：设
5．数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果阵.证明：
(i)I + A 可逆，并且求
．
,设A是一个幂等矩
(ii)秩A + 秩 [提示：利用7.4，习题3 (ii)．]
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6．数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个自然数m使
m = 0.证明：
(i)
是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；
(ii) 如果一个幂零变换 可以对角化，那么 一定是零变换．
7．设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而 是V的一个线性变换，并且 与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么 一定是一个位似． [提示：令
是 的一个本征值，考虑
的属于
的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果．]
8．设
是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令
是
的全部本征值．证明，存在V的线性变换 ，使得
(i) ；
(ii)
(iii)
(iv)
(v) 的属于本征值 的本征子空间，
9．令V是复数域C上一个n维向量空间， ， 是V的线性变换，且
(i) 证明，(ii)
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．
的每一本征子空间都在 之下不变；
与 在V中有一公共本征向量．