1.下列向量组是否线性相关:
(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；
(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{ 即
=k，
，那么{
}里，如果有两个向量
}线性相关．
与
成比例，
3．令 。证明
线性相关必要且只要
行列式 = 0．
4．设
数，得到
的m个向量 ，?， }也线性无关
，线性无关．对每一个
任意添上p个．
证明{ 5．设
1 ， 2 m线性无关，证明
} (
也线性无关．
6．设向量组{ 量组
线性无关，任取
线性无关．
．证明，向
7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当 性无关．
31
，那么
线
(ii) 如果
，
(iii) 如果 合． (iv) 如果
8．设向量 向量组{
9．设向量组
可以由
线性无关，而
也线性无关．
不能由 线性表示，那么
线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组
线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．
表示，但不能由
，
并且每一
}等价．
线性表示．证明，
}与向量组{
中
都不能表成它的前
个向量
的线性组合．证明
10．设向量 者 与{
线性无关，而
线性无关．
， ， 线性相关，证明，或
，
}
与 中至少有一个可以由
， }等价．
线性表示，或者向量组{
§6.4 基和维数
1．令Fn [x]表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 [x]的基： (i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}； (ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}.
2．求下列子空间的维数：
32
（i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) (ii) L(x-1，1-x，x-x) 2
R3
2F[x]；
(iii) L(ex，e2x，e3x) C [a，b].
3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基．
4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数． 5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？
6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量
的线性组合，那么dimV = n.
7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，?，an）来说，要么a1 = a2= ? = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1．
8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n．证明：W在V中有不只一个余子空间．
9．证明本书最后的论断．
§6.5 坐标
1．设{过渡矩阵．
1
，
2
，?，
n
}是V的一个基．求由这个基到{
2
，?，
n
，
1
}的
2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3 [x]（数域F上一切次数 3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：
（i）x2+2x+3； （ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x．
33
3．设
4
1
=(2，1，-1，1)，
1
2
=（0，3，1，0），
2
3
=（5，3，2，1），
=（6，6，1，3）．证明{ ， ，
3，
4
} 作成R4的一个基．在R4中求一
个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．
4．设
=(1，2，-1)，
=（0，-1，3）， =（-2，3，1）， =（1，-1，0）；
123
1=（2，1，5）， ，
，
23=（1，3，2）．
证明{
1 23
}和{ 1 ，
2
，
3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵．
5．设{ s矩阵．令 ( 1
，
12
，?，
2
n
}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个n
s ， ，?， )=(
1
，
2
，?，
n
)A ．
证明 dimL( 1 ， 2
，?， s)=秩A．
§6.6 向量空间的同构
1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构． 2．设
是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明
是W的一个子空间．
3．证明:向量空间
可以与它的一个真子空间同构．
§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
34
1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．
2．证明，秩（A+B） 秩A+秩B．
3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证
明，秩B r+s – m．
4．设A是一个m n矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个s t矩阵C，证明，秩C r+s+t–m–n．
5．求齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5 =0，
5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0
的一个基础解系．
6．证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间．
7．证明，F的任意一个≠F的子空间都是若干n–1维子空间的交．
第七章 线性变换
nn§7.1 线性映射
1．令
=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射 哪些是R3到自身的线性映射？
35