西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 ?3????1?m1?1(m1?0);
???0????1???当k?3?23得特征向量?2?m2?1?(m2?0);
???3?1?
??1??当k?3?23得特征向量?3?m3?1?(m3?0);
???3?1??
33．A?kE?(?k)n?1(na?k)， 故A的特征值为k1?k2??kn?1?0,kn?na
因?na不是A的特征值,A?(?na)E?0,从而A?naE可逆。
10LM?D?02MM00N334．存在可逆矩阵P,使P?1APOP0 P?3PQ0
则PBP?P(A?7A?5E)P?D?7D?5E
?1?13OP8?14?50??E P0?27?21?5PQ?100OLMP故B?P(?E)P??E?0?10 MPM00?1PNQ00?12221?7?5LM0?MMN0
35．f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?2x3)?x3
1123
21
2
2
x?y?y?2yR|x?y?2y (*) 则S，经线性变换(*),原二次型化为:y|x?y T22333?y2?y3
36．?1???0,?2?1?0,?3?4?0, 故f(x1,x2,x3)是不定的。
四、证明题
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西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 1．?AA?????A???A??AA?
2．“?”AB??AB???B?A??BA “?”A??A?B??B?
n故AB?A?B???BA????AB??. 3．若A??aij?,AA???cij? , cij?
?aikajk?i,j?1,2,?,n?
k?1
取ni=j有?a2ik?0?aik?0?i,k?1,2,?,n? 即A?0.
k?1?a?a1n??a11?4．记系数矩阵A??11???????,A??????an1?a???nn??an1?R(A)?R(A?)?R(B)
但题设R(A)?R(B)故R(A)?R(A?),，所以方程组有解. 5．证明:(1)两向量组个数相同 (2)A(???)?A??A??0????为AX=0的解
(3)只要证???,?,?,?无关即可. 由k1(???)?k2????ks??0
?k1??(k1?k2)????ks??0
又??,?,?,?线性无关
?k1?0,k1?k2?0,?,ks?0?k???,?,?,?线性无关, 1?k2???ks?0 ?AX=0的基础解系.
6．由A?A?AA??E知A??A?1故A可逆
(A?1)??(A?)??A
7．如A~B,有可逆矩阵P使P?1AP?B
则Bk?(P?1AP)(P?1AP)?(P?1AP)?P?1AkP=P?10P?0
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a1nb1?????, 显然有a?nnbn?
???,?,?,?亦为
?