西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 1i1?i1．计算行列式?i10(其中i2??1).
1?i01
11112．解方程D(x)?1x2222x3?0
333x
00?0a1 n00?a2 n-1a2 n 3．按定义计算?????
0an?1 2?an?1 n-1an?1 nan 1an 2?an n-1an nxab0c0y00d14．计算D?0ez0f 5．计算行列式D?0ghkul?10000v?1Rx1?kx2?x3?06．设齐次线性方程组|S|kx1?x2?x3?0 T2x1?x2?x3?0问k取何值时,方程组只有零解?k取何值时,方程组有非零解? L400O7．设A?MMP?1M013,求AFN048PP. IQ1000I8．设GGH054JAFG?11IF3022JKH?23JK?GGH02J,24JK求矩阵A. 36
0?1?1?1?11?111的值.
?110西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 11LM1?1M9．设A?M11M11N11?11OP1P,求A1PP?1Q13.
?3?10．设A?2???12421??2??3,B?1???1???2010011332??2??1,C?3???2???121?2?1??2,求AC??(2CB)?. ?3??00LM00M11．求方阵A?M02M30NOP0P的逆矩阵. 0PP0Q?1?3???211?21?1?3?12． 设 2A?1???11?133402???2?1??01??2??3?4??1?????22020?2??2, 求 A. ?3??2F23IFAG313．设GJ34KGH0HIF30J?GJH12KI,求矩阵A. J2K14．设A???1?3?1??3,B????2??14??1?,求(AB). 2??0?015．求方阵A???0??100200200?1??0?的逆矩阵. 0??0????16．解方程组????2x1?x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25x1?x2?x3?2x4??12x1?x2?x3?3x4?4
17．设?1?3,21,0,9,0,?2?1,7,?1,?2,?1,?3?2,14,0,6,1,求向量组?1,?2,?3的秩。
18．设?,?都是n维的单位列向量，试求???与???的内积。
bgbgbg 37
西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 2x?3x?x?5x?0R|3x?x?2x?7x?0|19．求方程组S的解. 4x?x?3x?6x?0||x?2x?4x?7x?0T111I11I112IFFF20．设??G,,J,??G,??G,,?J,讨论向量组?,??,,0JHKHKHK55522333123334124124123412312,?3的线性相
关性。
2x?x?x?x?1R||3x?2x?2x?3x?2的解的情形
21．讨论S|5x?x?x?2x??1|2x?x?x?3x?4T123412341234123422．用初等变换求下列矩阵A的秩，并写出其行向量组的一个最大线性无关组. 1?1LM21M03A?MM10MM13N2?1?50?430?61?2?2L011?12OMP02?2?20P23．直接用矩阵秩的定义(即非零子式的最高阶数),求下列矩阵的:M
M0?1?111PMP1101?1QNL1?1O1OML22P??A?A?24．设??M,，,试求向量?的长度 MPP112QMNPMN22PQ25．将??b正交规范化. 1,?1,1,1g,??b1,0,1,0g,??b2,1,?2,0g26． 设 ??b , ??b , ??b , ??b， 问 向 量 2,1,0,3g3,?1,5,2g?1,0,2,1g1,1,1,1g123OP1P 5PP2P7PQ? 能 不 能 由 向 量 组 ?1,?2,?3 线 性 表 出？ 为 什 么 ？ 27
．
设
向
量
组
?1,?2,?3线性无关，而
?1??1?2?2?3?3,?2???1??3,?3?3?1?3?2?4?3.试研究向量组?1,?2,?3的线
性相关性。
28．试写出n元实二次型fx1,x2,?,xn?c1x1?c1x2?,?,?cnxnbgbg的矩阵形式，并判断
2 38
西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 f是否为正定的？n?1。
422OLMP29．试判断实对称矩阵A?242是否为正定矩阵？ MPM224PNQ30．写出用正交变换将二次型fbx,xg?9x?12xx?4x化成的标准形，并指出f的
12211222bg秩。
?1??0?????31．设三阶方阵A的特征值为1,0,?1,其相应的特征向量分别为?1?1,?2?1,
???????1???1??0OLMP??0,求A. MPM1PNQ23LM32．设A?14MM13N93OP2,求A的特征值和特征向量。 P1PQaa?aOLMPaa?aP,试求A的特征值,并研究A?naE的可逆33．设常数a?0,矩阵A?MM????PMPaa?aQN2n?n性。
334．设3阶方阵A的特征值分别为1,2,?3,矩阵B?A?7A?5E,求B.
35．用配方法将二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?2x2?4x2x3?5x3化为标准形,并写出所施变换. 36．试求二次型的正定性. 四、证明题
1．对任意的n阶矩阵A，证明AA'为对称矩阵.
2．设A,B是两个反对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充要条件是AB?BA. 3．设A是n阶实矩阵，证明：若AA??0.则A?0.
f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x1x2?4x2x3的矩阵的特征值, 并确定二次型
22222 39
西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 ?ax1??2?anxn?1b?a1x112?...............................4．设线性方程组?系数矩阵的秩等于矩阵?ax?ax???ax?bnnnn?n11n22?a11???B??an1??b1????b?1????的秩，证明此方程组有解. ?nannb?bn0?an15．设?,?,?,?是方程组AX=0的基础解系,证明???,?,?,?也是它的基础解系. 6．若A是正交阵，证明：A可逆且A?1也是正交矩阵。
kk7．设A是n阶方阵,且有正整数k,使得A?0,证明:如果A~B,则B?0.
《线性代数》期末复习（新题库）答案
一、选择（12小题，共24分）
1.D 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.A 11.C 12.C 13.A 14.D 15.A 16. D 17.D 18.D
19.C 20.D 21.A 22..D 23.A 24.A 25.B 26.B 27.B 28.D 29.C 30.C 31．D 32．D 33．A 34．C 35．A 36．D 37．A 38．D
二、填空
n?11．0. 2． ? 3．E 4. ?abcd 5. ??1??100?4
n6. (a2?b) 7. ?a1222a24a31a43,a12?a24a33a41
?d?A1251?8. ?. 9. ?. 10．
?c5460???Ab??A? 11．A?Ba??A??20 3．A???A.
12．40
??6?13．?2??4??31?29??5??3? 14．?3 15．?8 16．???116??8?? 17．E 2? 40