西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 B、当m?n时，AX?0有非零解，且基础解系中含n?m个线性无关解向量， C、若A有n阶子式不为零，则AX?b有唯一解, D、若A有n阶子不为零，则AX?0仅有零解.
21．设A是5阶方阵，且A的秩为3，则A的伴随矩阵的秩为：
A、0 B、1 C、2 D、3 22．n维向量组?1,?,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是.
A、存在一组不全为0的 常数k1,?,ks,使k1?1???ks?s?0. B、该组中任意两个向量都线性无关.
C、该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. D、该组中任意一向量都不能用其余向量线性表出.
23．若?1?(1,0,2),?2?(0,1,?1)都是AX?0的解，则A为()
TT
A、[?2?211] B、??0?00?1???102?? C、??? D、?411??01?1???01?21?1???2 ?1??24．已知向量组?1,?,?m的秩为r(r A、必有r个向量线性无关. B、任意r个向量线性无关. C、任意r个向量都是该向量组的最大无关组. D、任一向量都可由其余向量线性表出. 25．方程组AX?0仅有零解的充分必要条件是() A、A的行向量组线性无关 B、A的列向量组线性无关， C、A的行向量组线性相关 D、A的列向量组线性相关. Rx?2x?3x?0||3x?6x?10x?0的解的情形是() 26．方程组S|2x?5x?7x?0|Tx?2x?4x?0123123123123A、无解， B、有唯一解， C、基础解系中有一个向量 D、基础解系中有两个向量 x?2xR|3x?x27．若方程组S|x??xT12123?x3???8???2?x3?(??3)(??4)?(??2)) 有无穷多组解，则??( 2A、1 B、 2 C、3 D、4 31 西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 28．设?1?1,1,?2,?2?0,0,1,?3?1,?1,0,?4?3,?1,?1则向量组?1,?2,?3,?4的秩为。 A、2 B、4 C、1 D、3 29．设A为n阶方阵，且秩(A)?n?1.a1,a2是非齐次方程组AX?B的两个不同的解向量,则AX?0的通解为() A、ka1 B、ka2 C、k(a1?a2), D、k(a1?a2), 30．已知向量组?1,?,?m线性相关，则 A、该向量组的任何部分组必线性相关. B、该向量组的任何部分组必线性无关. C、该向量组的秩小于m. D、该向量组的最大线性无关组是唯一的. 31．设三阶方阵的特征值为：?1??1、?2?1 、?3?2,对应于?1??1的特征向量为则向量x3?3x1?x2?5,3,?5 x1?1,1,0,对应于?2?1 的特征向量为x2??2,0,5， A、是对应于特征值?1??1的特征向量， B、是对应于特征值?2?2的特征向量， C、是对应于特征值?3?2的特征向量， D、不是A的特征向量。 2232．二次型f?2x1?x2?4x1x2?4x2x3的秩等于 bgbgbgbg???A、0 B、1 C、2 D、3 2233．二次型fx1,x2,x3?x12?2x2?3x3?2x1x2?2x2x3的标准形是 2222222222A、y1?2?2y3 B、?y1?y2?2y3 C、y1?y2 D、y1?y2 bg34．n阶方阵A能与对角矩阵相似的充分必要条件是 A、A是实对称矩阵. B、A的n个特征值互不相等. C、A具有n个线性无关的特征向量. D、A的特征向量两两正交.￡ 335．设三阶方阵A的特征值为：?1?1,?2?2,?3??3,B?A?7A?5E,则B等于 A、?E; B、2A; C、4E; D、5A?E 2222A、y1?6y2 B、y1 C、?6y2 22D、?y1?6y2 36．二次型fx1,x2,x3?x1?x2??x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的标准形是 bg222222222A、?y1 B、?y1?y2?y3 C、y1?y2 D、3y1 37．设三阶方阵A的三个特征值为?1??2?1,?3?2,向量?1?(1,2,2)?,?2?(2,1,?2)?及 2 32 西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 ?3??1??2?(3,3,0)?都是A的特征向量，则下述结论正确的是 A、?1,?2,?3都是属于特征值?1?1的特征向量. B、?1,?2是属于特征值?1?1的特征向量,而?3是属于特征值 ?3?2的特征向量. C、由题设条件不能得出肯定判断. D、题设诸条件互不相容. 38．设二次型f?x,x12,x3??x1?x2?6x3?4x1x2?6x1x3?6x2x3，则 222A、f为正定的, B、f为负定的, C、f的秩为1， D、f即不正定，也不负定。 二、填空题 1．二阶行列式 a2abb2ab?_________. 2．六阶行列式中乘积a35a21a13a66a42a54前面应加的符号是_______________. 3．设E(2,4)是4阶初等方阵,则[E(2,4)]2等于_____________________ a00c00b00000d?________________. 4．行列式 0005．设A是n阶方阵，且行列式A?25,则行列式?4A?_____________. aba0000ab00ba?_______________. 6．行列式 b007．四阶行列式D中含有a12a24的项是____________________及_____________________. *8．设三阶方阵A的行列式为A?2,A为A的伴随矩阵,则行列式 (3A)?1?A?_____________. *?1?9．设矩阵A??2???7?2043???10,A为A的逆矩阵,则A?1?______________. ?9???110． 设 A?abIF , 其 中 ad?bc?0 ,则 AGJcdKH 等 于 _______________. 33 西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 11．设A??,?1,?2,B??,?1,?2均是3阶方阵,?,?,?1,?2是三维列向量，若 bgbgA?2,B?3,则A?B?___________________. 12．设A是n阶方阵,则A是反对称 矩阵的充要条件是_______________. 13． 设 A?21I10IFF , 则 ,B?GJGJ34K02KHH(?2AB?) 等 于_______________. F3I14．G?1J(?2GJ2KH?13) 等 于______________. F2G15． 设 A?G0GG0H17．A?0?10IJ , 则 0J1JJ6K0A?1 等 于 ____________________. 16．设 G 是 4 阶 方 阵， 且G??2， 则 G*等 于___________. F21I,B?F32I ，则 AB 等 于_______________. GJGJ?32K?14KHH?33IF0J,B?G0JG1K5H18．设A，B，C 都 是 n阶方阵,C?0且AC-BC=C,则A-B等于 _______________. 1F219． 设 A?GG3HI?4J,且2X?3A?5B,则 矩 阵 X _____________. J?3K?120．如果向量??(1,?2,2,?1)与向量??(1,1,k,3)正交，则常数k?______________. 21．设A为4?3矩阵，若方程组AX?0以?1?(1,0,2),?2?(0,1,?1)为其基础解系，则矩阵A的秩等于_________. x?kxR|2x?x22．若方程组S|kx?xT112223?x3?0?x3?0只有零解，则k应满足的条件是____________ ?023．设A为m?n矩阵，当非齐次线性方程组AX?b有解时,它有唯一解的充要条件是________. x?2x?aR|x?2x?a|24．方程组S|x?x?a|x?3x?x?2xT121233243123有解的充要条件是___________________-. 4?a4 34 西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 ?x?x?xR|x??x?x25．若方程组S|x?x??xT122112333?0 ?1无解则?? ??26．设?1?(1,k,0),?2?(0,1,k),?3?(k,0,1).如果向量组?1,?2,?3线性无关，则实数k的取值范围是_________________. 12LM27．设A?45MM33NOP6，则齐次线性方程组AXP3PQ3?0的基础解系所含向量个数为_________. 28．设向量组I：?1,?,?r的秩为p，向量组II：?1,?,?s秩为q，且向量组I能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是_________________. 10LM29．设矩阵P?2?1MM21NOL1PM1,A?2PM?22PNQM02?2?1OL2PM0,Q??2PM2P3QMN2?2012OP0,B?PAQP1PQ，则B的秩 等于_________。 30．已知向量?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),??(2,0,0).若用?1,?2,?3的线性组合来表示?，则??____________________. 31．已知向量组?1??(1,1,1,1,0),?2?(1,1,1,0,0),?3?(1,1,0,0,0),?4?(1,0,0,0,0),则该向量组的一个最大线性无关组是____________. 2232．二次型fx1,x2?2x1x2在x1?x2?1的条件下的最小值等于_____。 bg33．二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?6x1x3?8x1x4?4x2x3?2x2x4的矩阵表达式为 f(x1,x2,x3,x4)=________________________. 21、2,B?2A?A?E，则B的特征值为___________。34．设三阶矩阵A的特征值为?1、 35．设A为正交矩阵，?为A阵的特征根，则?A?E?__________。 1?136．设三阶可逆矩阵A的特征值是1、、2，则A的特征值为_______________。 3137．设二阶方阵A的特征值为1、，且A与B相似，则B的特征值为___________。 238．设三阶矩阵A有一个特征值为1，且A?0及A的主对角线元素的和为0，则A的其余二个特征值为__________。 三、计算题 35