西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 ?6?18．??3?8?2???10? ?9??19．2. 20．1 21．k?1 22．秩(A)?n(或AX?0只有零解) 23．a1?a2?a3?a4 24．??1或?2 25．不等于－1的任意常数。
26．1 27．2. 28．p?q. 29．3 30．?1??2??3. 31．?1,?2,?3,?4.
?0?1x4)??3??4102032014??x1??0x2??1??x3??0??x4??? ???32．?1 33．(x1x2x31134．4、2、7 35．0 36．1、3、 37．1、 38．0、?1
22三、计算
1．原式?1?(1?i)(1?i)?i=0.
2．因为D(1)?0,D(2)?0,D(3)?0.而D(x)中x的系数为1,且最高次项为x,故方程
332D(x)?0只有3个根,即x1?1,x2?2,x3?3.
3．原式???1????1?n?n?1?21?2?3????n?1??a1 n?a2 n-1?a3 n-2?an?1 2?an 1
?a1 n?a2 n-1?a3 n-2?an?1 2?an 1 11?11ayehb0zk
?2?5??20000uc1?4c22?20x1?2?2?5??2??5?4??18
4．D?v00gx?uv00ayeb0?xuvzye0z?xyzuv 5．D?1
1k111?1??k?k, 所以当k?0且k??1时方程组12 6．因为方程组的系数行列式D?k2只有唯一的零解.
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西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 当k?0或k??1时方程组有非零解.
?1?4?1*??A?0?A??0??0?21?0??3? 4??1??4????4?*7．A??16?0 ， A?0??0?0???132?12， A??164??01F8. A?G0G0H0523IF4JG0JG2KH20?1IF?11IJ2GJJ?23KH4K0?1F1G?G0GG0H301?1IF3JG?2J0G2J2JHK50F?9IF?31I?G242JGJJ?21KGH?314KH0I ?10JJ13K3 1 1?111 11?11 111?1
9．A?111??8 , A3?A??512
?1F010．原式?(A?2B?)C??GG?3H0?20IF2G?3J2JG?3K?1H?3312IF1?2J?G?1JG3KH?31?9?8?15I?5J J?12K?10
．A?6?0,
8?????4???11????4F?G5G?7H??21??12．A???42???2??020?10?2???2????6?123???2F2IG3JG2K0H0420?1?1I3J J?4K?5
?123IF3F13．A?GJG34KH1H1?1340??4FG3H3IFJG?2K1H31?1F?42IG3GJ2KGG0HI0J J2K0?1
3?20IJ 0J1JJ2K042
西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 FI?430J?F15?9?7?2IGF?G3?20GJGJ752K?13HH1GJGJ00H2K?1??422FI? 14．(AB)?GJ??7
???178KH?2?L0001M00M215．A??4?0,A存在, A?M100M2M?100N?1?1
?1311?1I
J1K
?1?1OP0P P0PP0Q1
16．原方程组无解.
09?260
17．因为?10?1?9?0,联单 故?1,?2,?3线性无关，该向量组的秩为3 1
?18．????,??????????????????????????????????????????????????
由(?,?)?(?,?)知???????,故所求的内积为：
?????????2??2?1?1?0
23LM3?119．A?MM41M1?2N?12?34OP?7P P6P?7Q5R(A)?4
?方程组仅有零解
?120．因为?1,?2,?3为正交向量组，(或行列式?2?0)，
?3故它是线性无关组。
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西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 21．R(A)?R(A) 无解
2?1?50?4 30 ?2
1?1000 0?2013 ?7
1?1LM21M22．M03M10MM13N?61?200OLPM101PM5P00?MPM2PM107P00QMNOP?3P,R(A)?4 0PP2P7PQ
?1?(1,?1,2,3,?2),?2?(2,1,?1,0,1),?3?(1,0,0,1,2),?4?(1,3,?4,?2,7)
是一个最大线性无关组。
012?111?2?10201?11??2?1 1 2
23．由
001?2?10?12?0 1此矩阵的秩为4。
5
24．A为正交阵，故????
2
2 0 10
b1?10g,????b1bb??g?,?g282FI
????????G??1JHKb??g(?,?)999选??b 2?8?29gR??1b21?20g|3|1|b1010g 单位化S??
2||??1b2?8?29g|T31725．易知?2,?3正交，故选?1??3?2213131232233g4
3123? ? ?26． 令 A?? ?1?2?3?1?1LM05M， 对 矩 阵A 作 初 等 行 变 换： A?M00M00N0210OP1P , 3PP1Q1故 ? 不 能 由?1,?2,?3 线 性 表 出 27
．
设
k1?1?k2?2?k3?3?0,即
(k1?k2?3k3)?1?(2k1?3k3)?2?(3k1?k2?4k3)?3?0
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西南科技大学2009-2010学年第二学期《线性代数》期末考试试卷 由?1,?2,?3
k?k?3k?0R|线性无关知:S2k?3k?0,该方程组只有零解k|3k?k?4k?0T123131231?k2?k3?0,
故?1,?2,?3线性无关。 R(A)?4 ?c12??cc28．A??12???cc?1nc1c2c22c1c3c2c3?c3cn?????c2cnc1cn??c2cn?? ??2cn??
?x1???2X??f的矩阵形式为f?XAX, ???, f的标准形为y1，故f不是正定的。
?x??n?
29．A的特征值为8、2、2, 故A为正定矩阵 30．?1?0,?2?13
?1?P?1??1?009
2f的标准形：13y2
f的秩为1,
011031．记
0??1??1?0,P??1????01??00001?10??0?1??，
?1??1PAP?0??0?000?190????190,PAP??0??0?1???0??1??0??0?9?(?1)???00??0 ??1??
A91F?PG0G0H000I0JPJ?1K0?110F?G10G11HI0J J?1K0
2?k34?k3221?k?(1?k)(k?6k?3)
232．A?kE?11解得特征值为k1?1,k2?3?2k3,?3?3，当2k3?1得特征向量
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