33ij?2?????j?1i?1cov(ri,rj) (11)
实际的投资者可能面临许多约束条件，这里只考虑题中的年收益率（的数学期望）不低于10%，即
?1E?r1???2E?r2???3E?r3??0.10 (12)
所以得出优化模型：
33ijmin?32?????j?1i?1icov(ri,rj)s.t.?wE?r??0.10ii?1n (13)
?wi?1i?1，?1，?2，?3?0或者在风险方差小于0.3%，即
33ij?2?????j?1i?1cov(ri,rj)?0.003 (14)
所得出的优化模型：
maxnE?r???wiE(ri)i?1nins.t.??wi?1nj?1wj?ij?0.003 (15)
?wi?1i?1?1，?2，?3?04.2 模型求解过程 4.2.1 固定收益风险最小
投资组合知识建立模型，根据上表的数据，分别利用LINGO、Excel软件编程求解。
假设投资人的预期年收益率不低于10% 方法一（应用LINGO软件编程求解）：
求解程序：
11
MODEL:
Title简单的投资组合模型; SETS:
YEAR/1..10/;
STOCKS/A,B,C/:Mean,X; Link(YEAR,STOCKS):R; STST(Stocks,stocks):COV; ENDSETS DATA:
TARGET=0.10; R=
0.0289 0.0500 0.0401 0.1420 0.1965 0.1625 0.0846 0.1495 0.1363 0.0235 0.0981 0.0936 0.0731 0.0512 0.0328 0.1265 0.2651 0.0899 0.0757 0.2273 0.0477 0.0688 0.3418 0.0568 0.0241 0.0845 0.0213 0.1655 0.2242 0.1826; ENDDATA CALC:
@for(stocks(i):Mean(i)=
@sum(year(j):R(j,i))/@size(year)); @for(stst(i,j):COV(i,j)=@sum(year(k):
(R(k,i)-mean(i))*(R(k,j)-mean(j)))/(@size(year)-1)); ENDCALC
[OBJ]MIN=@sum(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j)); [ONE]@SUM(STOCKS:X)=1;
[TWO]@SUM(stocks:mean*x)>=TARGET; END
运行结果：
Local optimal solution found.
12
Objective value: 0.2701869E-02 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 19
Model Title: 简单的投资组合模型
Variable Value Reduced Cost TARGET 0.1000000 0.000000 MEAN( A) 0.8127000E-01 0.000000 MEAN( B) 0.1688200 0.000000 MEAN( C) 0.8636000E-01 0.000000 X( A) 0.4461679 0.000000 X( B) 0.1929541 0.000000 X( C) 0.3608780 0.000000 R( 1, A) 0.2890000E-01 0.000000 R( 1, B) 0.5000000E-01 0.000000 R( 1, C) 0.4010000E-01 0.000000 R( 2, A) 0.1420000 0.000000 R( 2, B) 0.1965000 0.000000 R( 2, C) 0.1625000 0.000000 R( 3, A) 0.8460000E-01 0.000000 R( 3, B) 0.1495000 0.000000 R( 3, C) 0.1363000 0.000000 R( 4, A) 0.2350000E-01 0.000000 R( 4, B) 0.9810000E-01 0.000000 R( 4, C) 0.9360000E-01 0.000000 R( 5, A) 0.7310000E-01 0.000000 R( 5, B) 0.5120000E-01 0.000000 R( 5, C) 0.3280000E-01 0.000000 R( 6, A) 0.1265000 0.000000 R( 6, B) 0.2651000 0.000000 R( 6, C) 0.8990000E-01 0.000000 R( 7, A) 0.7570000E-01 0.000000 R( 7, B) 0.2273000 0.000000 R( 7, C) 0.4770000E-01 0.000000
13
R( 8, A) 0.6880000E-01 0.000000 R( 8, B) 0.3418000 0.000000 R( 8, C) 0.5680000E-01 0.000000 R( 9, A) 0.2410000E-01 0.000000 R( 9, B) 0.8450000E-01 0.000000 R( 9, C) 0.2130000E-01 0.000000 R( 10, A) 0.1655000 0.000000 R( 10, B) 0.2242000 0.000000 R( 10, C) 0.1826000 0.000000 COV( A, A) 0.2493482E-02 0.000000 COV( A, B) 0.2693656E-02 0.000000 COV( A, C) 0.2200232E-02 0.000000 COV( B, A) 0.2693656E-02 0.000000 COV( B, B) 0.9653562E-02 0.000000 COV( B, C) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, A) 0.2200232E-02 0.000000 COV( C, B) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, C) 0.3247583E-02 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 0.2701869E-02 -1.000000 ONE 0.000000 -0.2460975E-02 TWO 0.000000 -0.2942763E-01
由上可知，投资三种股票的比例大致是：A占44.6%，B占19.3%，C占36.1%，风险（方差）为0.002701869。、
注：论文主体中出现的结果数据都是采用的方法一求解出来的结论。X表示投资的比例。
方法二（结合LINGO、Excel软件编程求解）
利用Excel软件求解每只股票的方差，以及它们的协方差。
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在Excel软件里输入下表：
表7 Excel中输入数据
日期 3/31/2010 12/31/2009 9/30/2009 6/30/2009 3/31/2009 12/31/2008 9/30/2008 6/30/2008 3/31/2008 12/31/2007 万科B(收益率%) 0.0289 0.1426 0.0846 0.0235 0.0731 0.1265 0.0757 0.0688 0.0241 0.1655 招商银行(收益率%) 0.05 0.1965 0.1495 0.0981 0.0512 0.2651 0.2273 0.3418 0.0845 0.2242 中国石化(收益率%) 0.0401 0.1625 0.1363 0.0936 0.0328 0.0899 0.0477 0.0568 0.0213 0.1826 在“数据分析”中选择“方差分析：单因素方差分析”对每只股票进行方差分析得出：
表8 单因素方差分析结果
方差分析：单因素方差分析 SUMMARY 组 列 1 列 2 列 3 方差分析 差异源 组间 组内 总计
观测数 10 10 10 SS 0.048265 0.138625
0.18689
求和 0.8133 1.6882 0.8636 df 2 27 29
平均 0.08133 0.16882 0.08636
MS 0.024132 0.005134
方差 0.002502 0.009654 0.003248
F 4.700279
P-value 0.01772
F crit 3.354131
由上可知，股票A的方差为0.002502，股票B的方差为0.009654，股票C的方
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