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专题20 不等式选讲 文
【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法
例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数f?x??x?1?2x?3.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y?f?x?的图像； （II）求不等式f?x??1的解集．
1??【答案】（I）见解析（II）???，?3???1，3??5，???
教案试题
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f?x??1,当x≤?1,x?4?1,解得x?5或x?3,∴x≤?1
31,3x?2?1,解得x?1或x? 2313∴?1?x?或1?x?
3233当x≥,4?x?1,解得x?5或x?3,∴≤x?3或x?5
2211??综上,x?或1?x?3或x?5,∴f?x??1,解集为???，?3?3?当?1?x?【变式探究】已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|. (1)当a＝1时，解不等式f(x)<3； (2)若f(x)的最小值为1，求a的值．
?1，3??5，???
【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后，转化为几个不等式组的解，最后求并集得出原不等式的解集．
【变式探究】
已知函数f(x)＝2|x＋2|－|x－a|(a∈R)． (1)当a＝4时，求不等式f(x)≤0的解集；
(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值． 【解析】：(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2|x＋2|－|x－4|≤0，即2|x＋2|≤|x－4|，两边平方得4x＋16x＋16≤x－8x＋16，即x＋8x≤0，解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解) 教案试题
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－x－4－a，x≤－2，??
(2)当a>－2时，f(x)＝?3x＋4－a，－2
a－4a－4
令f(x)＝0，解得x1＝－4－a，x2＝，f(x)的图像与x轴的交点为A(－4－a，0)，B(，0)，
33f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝－(a＋2)．记C(－2，－(a＋2))．
1a－4
f(x)的图像与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，其面积为×[－(－4－a)]×|－(a＋2)|＝
232（a＋2）2（a＋2）
，根据已知得≤54，解得－11≤a≤7，又a>－2，所以－2
【命题热点突破二】不等式的证明
例2、【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a,b?M时，|a?b|?|1?ab|． 【答案】（Ⅰ）M?{x|?1?x?1}；（Ⅱ）详见解析.
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11|?|x?|，M为不等式f(x)?2的解集． 22
（II）由（I）知，当a,b?M时，?1?a?1,?1?b?1， 从而(a?b)2?(1?ab)2?a2?b2?a2b2?1?(a2?1)(1?b2)?0， 教案试题
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因此|a?b|?|1?ab|.
【变式探究】[2015·全国卷Ⅱ] 设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明： (1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；
(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．
【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用．
【变式探究】
(1)已知a，b都是正实数，求证：
ab＋≥2 2－2. a＋2ba＋b
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(2)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a＋2b＋3c＋6d＝5，求a的取值范围．
【解析】：(1)证明：方法一：(代数换元法)设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y为正实数．
教案试题
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ab2y－xx－y2yx
＋＝＋＝＋－2≥2 2－2，当且仅当x＝2y时取等号． a＋2ba＋bxyxy
abab2（a＋b）a＋2b方法二：(配凑法)＋＝＋1＋＋1－2＝＋－2≥2 2－2，当且仅当
a＋2ba＋ba＋2ba＋ba＋2ba＋ba＋2b＝2(a＋b)时取等号．
111??22222
(2)由柯西不等式得(2b＋3c＋6d)?＋＋?≥(b＋c＋d)，即2b＋3c＋6d≥(b＋c＋d).由条件可得
?236?
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5－a≥(3－a)，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．
【命题热点突破三】 绝对值不等式与不等式证明的综合 例3 、【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a,b?M时，|a?b|?|1?ab|． 【答案】（Ⅰ）M?{x|?1?x?1}；（Ⅱ）详见解析.
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11|?|x?|，M为不等式f(x)?2的解集． 22
【变式探究】已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|－m的定义域为R. (1)求实数m的取值范围； 教案试题