第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、
主要内容
㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
y??f(x)x?D?12.分段函数:
?g(x)x?D2
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1
(y) y=f-1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f-1
(x), D(f-1
)=Y, Z(f-1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( )；
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )；
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )；
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn
, (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
1
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、
主要内容
㈠极限的概念
1. 数列的极限:
limn??yn?A
称数列
?yn?以常数A为极限;
或称数列
?yn??yn?收敛于A.
定理: 若
的极限存在
??yn?必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
x??时，f(x)的极限：
x???
limlimx???f(x)?A???limf(x)?Ax??f(x)?A?
?的极限：
⑵当
x?x0时，f(x)
x?x0limf(x)?A
左极限：
x?x0lim?f(x)?A
2
右极限：
x?x0lim?f(x)?A
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?Ax?x0x?x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
limf(x)???f(x)为无穷大量。
x???,
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指：
x???,无穷小量：
x??,x?x,?0x?x,?0x?x0
2．
limf(x)?0
f(x)为无穷小量。
1f(x) 称在该变化过程中3．
无穷大量与无穷小量的关系：
limf(x)?0?lim 定理：
???,(f(x)?0)
4． 无穷小量的比较：
lim??0,lim??0,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑴若
lim???0lim ⑵若
???c （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
lim ⑶若
???1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
3
lim ⑷若
????,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
?1~?1，?2~?2；
则：
lim?1?2?lim?1?2
㈢两面夹定理 1．
数列极限存在的判定准则：
设：
yn?xn?znn??n?? （n=1、2、3?）
且：
limyn?limzn?a
则： 2．
limxn?an??
函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有：
g(x)?f(x)?h(x)
且：
x?x0limg(x)?limh(x)?Ax?x0
则：
x?x0limf(x)?A
㈣极限的运算规则
若：
limu(x)?A,limv(x)?B
4
则：①
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B②
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
lim③
u(x)v(x)?limu(x)limv(x)?AB
(limv(x)?0)
推论：①
lim[u1(x)?u2(x)???un(x)]
?limu1(x)?limu2(x)???limun(x)
②
lim[c?u(x)]?c?limu(x)
③
㈤两个重要极限
lim[u(x)]?[limu(x)]sin?(x)nn
lim 1．
sinxx1xx?0?1 或
?(x)?0lim?(x)1?1
2．
lim(1?x??主要内容
)x?e
lim(1?x)x?ex?0
§1.3 连续
一、
㈠ 函数的连续性
1. 函数在
x0处连续：f(x)?x?0在
x0的邻域内有定义，
1
o
?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
2
o
x?x0limf(x)?f(x0) 5