则dydx??Fx?Fy?
㈦.二阶偏导数：
??(x,y)?fxx?z?x222???x?x(?z)
??(x,y)?fyy??(x,y)?fxy?z?y22???y?y??((?z)
?z?x?y?z?y?x2?z?y?x?(?z)
??(x,y)?fyx??x?y)
??(x,y)和fyx??(x,y)为x,y的连续函数时，结论：当fxy??(x,y)?fyx??(x,y)则：fxy㈧.二元函数的无条件极值 1.
二元函数极值定义：
设z(x,y)在(x0,y0)某一个邻域内有定义，
若z(x,y)?z(x0,y0),?或z(x,y)?z(x0,y0)?
则称z(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值,
称(x0,y0)是z(x,y)的一个极大(或极小)值点。
☆ 极大值和极小值统称为极值，
31
极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件：
若z?f(x,y)在点(x0,y0)有极值，且在(x0,y0)
两个一阶偏导数存在，则：
fx?(x0,y0)?0?★
fy?(x0,y0)?0
1使fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0的点(x0,y0)，
称为z?f(x,y)的驻点。 2定理的结论是极值存在 而非充分条件。
?的必要条件，
例：
z?y?x?1
z?x??2x?0z?y??2y?0?x0?0解出驻点??y0?022
z(0,0)?1
当x?0,y?0时，z(0,y)?y?1?1 当x?0,y?0时，z(x,0)??x?1?1
∴驻点不一定是极值点。
5. 极值的充分条件：
22设：函数y?f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内
有二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，
32
??(x0,y0)若：p?fxy
??
2??(x0,y0)?fyy??(x0,y0)?fxx??(x0,y0)?0时，?f(x0,y0)为极大值。?fxx当：p?0且???(x0,y0)?0时，?f(x0,y0)为极小值。?fxx当：p?0,?f(x0,y0)不是极值。
当：p?0,?不能确定。求二元极值的方法：
1求一阶偏导数，令两个
?一阶偏导数等于零，
解出驻点。
2求出p,根据极值的充分条件，
极值点。
?判断驻点是否是3若驻点是极值点，求出
?极值。
33
二倍角公式：(含万能公式) ①
sin2??2sin?cos??2tg?1?tg?2
②cos2??cos2??sin??2cos??1?1?2sin??2221?tg?1?tg?22
③tg2??
2tg?1?tg?2 ④sin2??tg?1?tg?22?1?cos2?2 ⑤cos??21?cos2?2
34