⑶极值存在的充分条件： 定理一：
?f(x0)是极值；?02.f?(x0)?0或f?(x0)不存在；??x0是极值点。0?3.f?(x)过x0时变号。?1.f(x)在x0处连续；
0当
x渐增通过
x0时，
f(x)由（+）变（-）；
则
f(x0)时，
为极大值；
当
x渐增通过
x0f(x)由（-）变（+）；则
f(x0)为极小值。
f(x0)是极值；1.f?(x0)?0；???0x0是极值点。2.f??(x0)存在。?定理二：
若
0f??(x0)?0f??(x0)?0，则
f(x0)f(x0)为极大值；
若，则为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是上凹的（或凹的）
，（∪）；
f??(x)?0,x??a,b?；则f(x)在(a,b)内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑵若
??x0,f(x0)?称??0为f(x)的拐点。2.f??(x)过x0时变号。?⑶
1.f??(x0)?0，0
16
5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线：
若lim或lim
⑵铅直渐近线：
x???x???f(x)?A?y?A是f(x)???f(x)?A?的水平渐近线。?
若lim?f(x)???x?C是f(x)?x?C??或lim?f(x)???的铅直渐近线。x?C?第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 一、 主要内容 ㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
f(x),F(x),x?D
若：
F?(x)?f(x)
F(x)是
则称
f(x)的一个原函数，
并称
F(x)?C是
f(x)的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分：
函数
f(x)的所有原函数的全体，
称为函数
f(x)的不定积分；记作：
?f(x)dx?F(x)?C
17
其中：
f(x)称为被积函数；
f(x)dx称为被积表达式；
x
称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴
或：
??f(x)dx??f(x)d??f(x)dx??f(x)dx
?
⑵
?f?(x)dx?f(x)?C
或：
?df(x)?1f(x)?C
⑶
?[f?(x)?f2(x)???fn(x)]dx
?f1(x)dx??f2(x)dx????fn(x)dx
—分项积分法
⑷
?kf(x)dx?k?f(x)dx (k为非零常数)
4.基本积分公式： ㈡换元积分法：
⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?f[?(x)]??(x)dx???凑微元?f[?(x)]d?(x)
?令t??(x)?f(t)dt?F(t)?C
??F[?(x)]?C
回代t??(x) 18
常用的凑微元函数有：
1
o
dx?1ad(ax)?1ad(ax?b)
(a,b为常数，a?0)
xdx? 2o
m1m?1dxm?1?1a(m?1)d(axm?1?b)
（m为常数）
edx?d(e)?1lnaxx1ax 3
o
d(aex?b)
adx?
xd(a),(a?0,a?1)
1 4
o
xdx?d(lnx)
5o
sindx??d(cosx)secxdx?d(tanx)12cosxdx?d(sinx)
cscxdx??d(cotx)
2
6o
1?x2dx?d(arcsinx)??d(arccosx)
1
1?x2dx?d(arctanx)??d(arccotx)
2.第二换元法：
19
?f(x)dx??令x??(t)?f[?(t)]d?(t)
????(t)f[?(t)]dx???F(t)?C
F[??1?1(x)]?C
反代t??(x) 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：
1o
x?t,nnn为偶数时,t?0
(当被积函数中有
x时)
2o
x?asint,2(或x?acosx),2时)
0?t??2
(当被积函数中有
a?x 3o
x?atant,2(或x?acott),2时)
0?t??2,(0?t??2)
(当被积函数中有
a?x 4o
x?asect,2(或x?acsct),2时)
0?t??2,(0?t??2)
(当被积函数中有
㈢分部积分法： 1. 分部积分公式：
x?a 20