3.
?baudv?u?v广义积分
ba?0?bavdu
?? 4.
?????f(x)dx????f(x)dx??0f(x)dx
定积分的导数公式
1（?
xaf(t)dt)?x?f(x)
2[?
?(x)af(t)dt]?x?f??(x)????(x)
?(x)?f??1(x)???1?(x)f(t)dt]?x?f??2(x)???23[?1.
?2(x)?1(x)(三)定积分的应用
平面图形的面积:
1由y?f(x)?0, 与x轴所围成的图形的面积 y f(x)
x?a,x?b,(a?b)
s??baf(x)dx
2由y1?f(x),y2?g(x),(f?g) 与x?a,x?b所围成的图形的面积
s???f(x)?g(x)?dxab
3由x1??(y),
x2??(y),26
(???)
与y?c,y?d所围成的图形的面积
s?????(y)??(y)?dycd
4.求平面图形面积的步骤①. ②. ③. 2.
求出曲线的交点，画出草图；
确定积分变量，由交点确定积分上下限； 应用公式写出积分式，并进行计算。 旋转体的体积
：
1曲线y?f(x)?0,与x?a,x?b体的体积：
及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转
Vx???baf(x)dx2
0 a b x
2由曲线x??(y)?0,与y?c,y?d转体的体积：
及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋V??y
?dc?(y)dy2
第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念
3. 二元函数的定义：
z?f(x,y)(x,y)?D
定义域：D(f)
27
4. 二元函数的几何意义：
二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）
㈡. 二元函数的极限和连续： 1.
极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。?
（点(x0,y0)可除外）
2limf(x,y)?Ax?x0y?y0
?则称z?f(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
A。
1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。?
2limf(x,y)?f(x0,y0)x?x0y?y0
?则称z?f(x,y)在(x0,y0)处连续。
㈢.偏导数：
定义:f(x,y),在(x0,y0)点fx?(x0,y0)?lim?x
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)
?x?0fy?(x0,y0)?limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y
?y?0 28
fx?(x0,y0),fy?(x0,y0)分别为函数f(x,y)在(x0,y0)处对x,y的偏导数。
z?f(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：
fx?(x,y)??f(x,y)?x??z?x?z?x
fy?(x,y)?㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
?f(x,y)?y??z?y?z?y
若?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
?A?x?B?y?o(?)
其中，A、B与?x、?y无关，o（?）是比
???x??y较高阶的无穷小量。
22
则:dz?df(x,y)?A?x?B?y
是z?f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。
3.
全微分与偏导数的关系
定理：若fx?(x,y),fy?(x,y)连续，(x,y)?D.
则：z?f(x,y)在点(x,y)处可微且
29
dz?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy
㈤.复全函数的偏导数：
1.
设：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)
?z?f?u(x,y),v(x,y)?
?z?z?u?z?v则：?????x?u?x?v?x
?z?y2.
??z?u??u?y??z?v??v?y
设y?f(u,v),u?u(x),v?v(x)
?y?f[u(x),v(x)]
dydx??y?u?dudx??y?v?dvdx
㈥.隐含数的偏导数：
1.
设F(x,y,z)?0,z?f(x,y),且Fz??0
Fy?Fx??z则??,???xFz??yFz??z2.
设F(x,y)?0,y?f(x),且Fy??0
30