)x(f
左连续：
x?x0lim?f(x)?f(x0)
右连续：
x?x0lim?f(x)?f(x0)2. 函数在
x0处连续的必要条件：
在
定理：
f(x)x0处连续?f(x)在
x0处极限存在
3. 函数在
x0处连续的充要条件：
x?x0x?x0
定理：
x?x0limf(x)?f(x0)?lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0)上连续：
4. 函数在
?a,b?f(x)?a,b?在
上每一点都连续。
在端点
a和b连续是指：
x?alimf(x)?f(a)? 左端点右连续；
x?blimf(x)?f(b)? 右端点左连续。
a+ 0 b- x 5. 函数的间断点：
若
f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况：
1o
在
x0处无定义；
不存在；
2
o
x?x0limf(x)6
)x(f
)x(f3o
limf(x)x在存在， 0处有定义，且x?x0 但
x?x0limf(x)?f(x0)。
两类间断点的判断： 1o第一类间断点：
特点：
x?x0lim?f(x)lim?f(x)和
x?x0都存在。
可去间断点：
x?x0limf(x)存在，但
x?x0 2o第二类间断点：
limf(x)?f(x0)，或在
x0处无定义。
特点：
x?x0lim?f(x)lim?f(x)和
x?x0至少有一个为∞，
或
x?x0limf(x)振荡不存在。
无穷间断点：
x?x0lim?f(x)lim?f(x)和
x?x0至少有一个为∞
㈡函数在1.
x0处连续的性质
连续函数的四则运算：
设
x?x0limf(x)?f(x0)limg(x)?g(x0)，
x?x0
1
o
x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)7
2
o
x?x0lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
3o 2.
x?x0limf(x)g(x)??limg(x)?0???g(x0) ?x?x0?
y?f[?(x)]
f(x0)复合函数的连续性：
y?f(u),x?x0u??(x),u??(x0) lim?(x)??(x0),limf(u)?f[?(x0)]
则：3.
x?x0limf[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]
x?x0反函数的连续性：
y?f(x),x?x0x?f?1(x),y?y0y0?f(x0)
?1
limf(x)?f(x0)?limf[a,b]上连续的性质
(y)?f?1(y0)
㈢函数在
1.最大值与最小值定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。
y y
+M M
f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x
2. 有界定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定有界。
8
3.介值定理：
f(x)在[a,b]上连续?在
(a,b)内至少存在一点
，
?，使得：
f(?)?c其中：
y y
M f(x) m?c?M
C f(x)
0 a ξ b x m
0 a ξ1 ξ2 b x
推论：
f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与
f(b)异号
?在
(a,b)内至少存在一点?，使得：
f(?)?0。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，
?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x9
?x?0
?lim
f(x)?f(x0)x?x0
x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0
2．左导数：
f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
右导数：
f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0
定理：
f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
f??(x0)?lim?f?(x)x?x0
（或：
f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）
3.函数可导的必要条件：
定理：
f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
y?x?x0?f?(x0)存在?f??(x0)?f??(x0)，
且存在。
5.导函数：
y??f?(x), x?(a,b)
10