间的所有物体。万有引力定律中的常量G的测定不仅证明了万有引力的存在，更体现了万有引力定律在天文研究中的巨大价值。 （3）常量K与常量G的关系：
常量K与常量G有如下关系，K= GM/4π，或者G=4π/GM。K的值由‘中心天体’的质量而定，而常量G则是一个与任何因素无关的普适常量。
例3：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？
【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论。
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【解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质
量为M，行星的质量为m，行星绕太阳运转轨道的半径为r，运行周期为T，则，
GMm/r2=m4π2r/T2,故，r3/T2=GM/4π2，即，K= GM/4π2。
显然，由于太阳质量一定，K的数值仅由太阳质量M决定，与其它因素无关。这一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统。
【总结】开普勒第三定律中的常量K与万有引力定律中的常量G的这种关系（K= GM/4π2，或者G=4π2/GM）可以用来方便的求解卫星
类的问题，作为一种解题的‘切入口’应在解题过程中予以重视。
3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同
（1）地球对地面物体的万有引力：地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式F=Gm1m2决定，其方向总是指向地心。 2r图4-4
（2）地面物体所受的重力：
处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”）。
地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’，应该与‘超重’现象严格区别开来。
2
以地球赤道上的物体为例，如图4-4所示，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R ，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F向=mωR =mR4π/T.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到的万有引力。
一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，
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有时可以近似认为重力等于万有引力，即mg=Gm1m2。 2rm1m2，而物体在距星体表面高度为hr2在任何星体表面上的物体所受的重力均是mg=G2
处的重力为mg’=Gm1m2/(r+h)
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（3）地面物体随地球自转所需的向心力：
由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2(ω是地球自转角速度，r是物体与地轴间的距离，T是地球的自转周期)，其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F大=mω2R（R是地球半径）；在两极时最小，F小=0。
因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图4-5所示．
实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图4-5所示．这个重力与地面对图4-5 物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．
当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和
Mm4?22牛顿第二定 律可得其动力学关系为G2?N?mR??ma，式中R、M、向?mRRT2?、T分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。
当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体
做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转天体也是同样适用的。
（4）万有引力、重力、向心力三者间的关系： 地面物体随地球自转所需向心力F向=mωr=mr4π/T由万有引力F引=GMm/R提供，F向是F引的一个分力，引力F引的另一个分力才是物体的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是F引≥mg>F向。
例4：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg,万有引力常量G=6．67×10-11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？
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【审题】对物体受力分析如图4-6所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体
竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。
【解析】在赤道附近处的质量m=1Kg的物体所受地球的万有引力为 F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/ (6.37×106)2 N=9.830N
222
此物体在赤道所需向心力为 F向=mωR=mR4π/T=
2X3.141×（）2×6.37×106 N=0.0337 N。
24X60X60此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为F
拉=F-F
向
=（9.830-0.0337）N
图4-6
=9.796N。
由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为F拉=9.796N。亦即物体所受到的重力也是9.796N。
【总结】由计算可知，引力F=9.830N远大于向心力F向=0.0337 N，而物体所受重力9.796N与物体所受的万有引力F=9.830N相差很小，因而一般情况下可认为重力的大小等于
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万有引力的大小。但应该切记两点：①重力一般不等于万有引力，仅在地球的两极时才可有大小相等、方向相同，但重力与万有引力仍是不同的两个概念。②不能因为物体随地球自转
所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。
例5：地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍
A.
g?ag?aa B. C. D. gaag a【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为‘切入口,’即可求出地球转动的角速度。
【解析】设地球原来自转的角速度为?1，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力, N
2表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得F?N?mR?1?ma ①
由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有N?G?mg ② 当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为?2，有F?mR?2 ③ 联立①、②、③三式可得
2?2??1g?a，所以正确答案为B选项。 a【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。
例6：假设火星和地球都是球体，火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p，火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，那么离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比等于多少？
【审题】解题时要明确以下二点： 一、因为已知火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p以及火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，故可以运用比例法进行求解。
二、所求的是离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比，而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。
?=GＭ火·【解析】 物体的重力来自万有引力，所以离火星表面Ｒ火高处：mg火m/(２Ｒ火)2
22?=GＭ地·m/(２Ｒ地)2，g地?=GM地/4R地?=GM火/4R火。离地对表面Ｒ地高处：mg地 g火?=M火/M地·R地/R火＝P/q2 ?/g地∴g火【总结】 由于引力定律公式中只有乘法与除法，故可以运用比例法进行求解。对星球
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表面上空某处的重力加速度公式g??GM?R?h?2?R????g，也可以这样理解：g′和
R?h??
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4、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同
对于天体质量的测量，常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期T和轨道半径r（必须明确天体的运行周期T和轨道半径r是研究卫星问题中的两个关键物理量），把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动，然后求解。但是必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同。
所谓‘中心天体’是指位于圆周轨道中心的天体，一般是质量相对较大的天体；如，恒星、行星等等。所谓‘环绕天体’是指绕着‘中心天体’做圆周运动的天体或者卫星以及人造卫星，一般是质量相对较小的天体或卫星。此种方法只能用来测定‘中心天体’的质量，而无法用来测定‘环绕天体’的质量。这是解题时必须注意的。
（1）根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量，其公式推证过程是：
MmR2g由mg=G2 得 M?.（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力
RG加速度和天体的半径．）
（2）根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量
卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得
Mmv24?22G2?m?mr??mr2
rrT若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度?或线速度v，可求得中心天体
rv24?2r3?2r3??的质量为M? 2GGGT例7：已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是：
? 地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离 ? 月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离 ? 人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期
? 若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度
【审题】此题中的目的是求解‘地球’的质量，其关键在于题中所给四个情景中“地球”
是否是一个‘中心天体’．若地球是一个‘中心天体’，则可在题中所给的四个情景中找到以地球为‘中心天体’、以‘月球’或‘卫星’为运‘环绕天体’的系统，再运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律联合求解。此外，还要注意到每一个选项中给定的两个物理量能否用得上，只有做好这样的分析判断之后，解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．
【解析】 对A选项。此选项之中“地球绕太阳运转”，给定的条件是”地球绕太阳的运转周期”和”地球与太阳之间的距离”。显然此处的”中心天体”是太阳而非地球，地球是一个”环绕天体”， 而已知的是地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，因
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此无法计算出地球的质量。故A选项错误.
对B选项。在此选项中，月球绕地球运转，月球是“环绕天体”，而地球是“中心天体”，且已知月球绕地球的运转周期T和月球与地球之间的距离r，由万有引力定律与匀速圆周运
GMm4?24?2r3?m2r，故有地球质量为M=动的规律可得 ，显然，式中的各量均为已22GTrT知量，即地球质量由此式可计算出来。故B选项正确。
对C选项。在此项中人造地球卫星是“环绕天体“，而地球则是中心天体，又已知人造地球卫星的运行速度v和运动周期T，由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得
GMmmv2GMm4?2和又因为此人造地球卫星是”近地“卫星，则h< 对D选项。可以运用虚拟物体法计算地球的质量。假设有一个在地面上静止的物体， GMmgR2对其运用万有引力定律可得：2?mg，则M=。其中的g为地面上的重力加速度， RGR为地球半径，均为已知，可以由此计算出地球质量。故D选项正确。 【总结】 对于天体的质量是通过测量计算得到的，而不是通过称量获得。首先要明确， 这种方法只能用来计算“中心天体”的质量，而不能计算“环绕天体”的质量。其次还必须 明确利用题中所给的天文数据能否计算出被测天体的质量。只有满足这两方面面的要求，才可以运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律计算求得天体的质量。 5、必须区别卫星的运行速度与发射速度的不同 GMmv2GM?m对于人造地球卫星，由可得v=，这个速度指的是人造地球卫星2rrr在轨道上稳定运行的速度。其大小仅随轨道半径r的增大而减小，与卫星的质量、形状等因 素无关。只要卫星能运行在半径为r`的轨道上，其运行的速度就必须是而且也只能是 v= GM，此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定公式。 r人造地球卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，由于人造地球卫星的发射过程中必须克服地球引力做功，从而增大了卫星的引力势能，故要将卫星发射到距地球越远的轨道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的发射速度就要越大。其发射 第 - 10 - 页 共 27 页