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③
将①、③两式相除可导出：
由此可知：选项(D)也是正确的。既然(D)是正确的，那么其结果不同的(A)显然是不正确的。
“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的，那么与其结果不同的(B) 显然是不正确的。
【总结】由于圆周运动中同一物理的表达式可有多个形式，故在解题过程中要注意公式的正确选择，即便是一个公式，也要全面考虑这一待求物理量的所有公式，而不可‘只看一点’，不计其余的乱套乱用。
10、必须区别两个天体之间的距离Ｌ与某一天体的运行轨道半径ｒ的不同
此处“两个天体之间的距离Ｌ”是指两天体中心之间的距离，而“ｒ”则是指某一天体绕另一天体做匀速圆周运动的轨道半径。若轨道为椭圆时，则ｒ是指该天体运动在所在位置时的曲率半径。一般来说，Ｌ与ｒ并不相等，只有对在万有引力作用下围绕“中心天体”做圆周运动的“环绕天体”而言，才有Ｌ＝ｒ。这一点，对“双星”问题的求解十分重要。 “双星”系统中的两个天体共同围绕其中心天体连线上的一点而做的匀速圆周运动。不存在“环绕”与“被环绕”的关系，与地球“绕”太阳和月球“绕”地球的运转情形截然不同。因此，明确地区分“双星”之间的距离Ｌ与双星运转的轨道半径ｒ的本质不同与内在关系就更为重要。
例15：天文学家经过用经过用天文望远镜的长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统.所谓“双星”系统是指两个星体组成的天体组成的天体系统，其中每个星体的线度均小于两个星体之间的距离。根据对“双星”系统的光学测量确定，这两个星体中的每一星体均在该点绕二者连线上的某一点做匀速圆周运动，星体到该点的距离与星体的质量成反比。一般双星系统与其他星体距离较远，除去双星系统中两个星体之间的相互作用的万有引力外，双星系统所受其他天体的因；引力均可忽略
图４－８
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不计。如图４－８所示。
根据对“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中每个星体的质量均为m，两者之间的距离为L。
(1)根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期T0.
(2)若观测到的该双星系统的实际运动周期为T,且有T0:T?（N>1）。为了解N:1，
释T与T0之间的差异，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在着一种用望远镜观
测不到的“暗物质”，作为一种简化的模型，我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球体内部分布着这种暗物质，若不再考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型理论和上述的观测结果，确定该双星系统中的这种暗物质的密度。
【审题】 “双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型，求解“双星”问题时必须注意到双星之间的距离L与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径r的本质区别与内在关系，并建立双星的空间运动模型，然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解即可。
【解析】 （1）由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力，且因二者的质量相等，故各自的运动半径均为
L，设各自的运行速度为v，由万有引力定律得 2Gm2mV2Gm=，即得V= . 2L/2L2L周期得公式可得，双星得运动周期为T0=
（2）此“双星”各在半径为的周期为T0:T?2?.L/22L=?L VGmL的圆形轨道上运动，由实际得天文观测知，其实际运行2（N>1），即实际运动周期T 引力，且该引力必然指向圆心，由题可知，这一万有引力的来源必定时双星的范围之内均匀 分布的暗物质。把这种暗物质等效于总物质集中在圆心处的星体。如图４－８所示， 设考虑了暗物质的作用之后，观测到的每个星体的运行速率为V，暗物质的总质量为M，由引力定律与圆周运动规律可得 '2?rGm2GMmm(v')2G(4M?m)'V+=，则=。又因T=，在半径r一定时，T VL/2L22L(l/2)2与v成反比。由题意得T0:T?（N>1），则N:1， T0=TNV'Gm=，把V= 和1V2LV'= N?1G(4M?m)m。 代入此式可得暗物质得总质量为M=42L又设所求暗物质的密度为ρ，则“暗物质”质量M=?(L/2)?= 433N?1m，所以， 4第 - 22 - 页 共 27 页 ρ= 3(N?1)m。 2?L3【总结】 此题中出现的“双星”“暗物质”均式很新颖的名词，是天文学的一种模型。求解“双星”问题必须把握几个要点： ①运用等效抽象的思维建立“双星”运行的空间物理情景； ②运用逻辑思维的方法，依据万有引力定律和匀速圆周运动的规律以及密度公式进行求解。 11．必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同 此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度，环绕速度是指卫星在某一圆周轨道上做匀速圆周运动的运行速度，环绕速度并不仅指7。9km/s． 要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运行，要经过火箭推动加速——进入停泊轨道（圆周运动）——再次点火变轨——进入转移轨道（椭圆轨道）——开启行星载动力——进入预定轨道(圆周轨道)等过程。 卫星的预定运行轨道均是圆周轨道，卫星在此轨道上做匀速圆周运动，万有引力完全提供向心力，卫星 图４－９ 处于无动力稳定运行（其漂移运动此处暂略）的状态。 当发射速度大于7。9km/s而小于11。2km/s时， 卫星则做椭圆运动逐渐远离地球，由于地球引力的作用，到达远地点P后，又会沿椭圆轨道面到近地点Q，如图4-9所示。在椭圆轨道的某一位置上，卫星所受地球的万有引力F引可以分解为切向分力F切（产生卫星的切向加速度）和沿法线方向的分力即向心力F向（产生卫星的向心加速度）。卫星在由近地点Q向远地点P运动的过程中做加速度和线速度都逐渐减小的减速运动；而由远地点P向近地点Q运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速运动，椭圆轨道是将卫星发射到预定轨道之间的一个过渡轨道。 例16：（1998年上海高考）发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于P点如图４－１０所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ） A.卫星在轨道3上的运行速率大于轨道1上的速率 B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道3上的角速度 C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度 D.卫星在椭圆轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 【审题】此题是一个“高起点、低落点”的题目,涉及到了人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型.求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀速圆周运动的 图４－１０ 规律,必须明确以下几点: ①只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力; 第 - 23 - 页 共 27 页 ②卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的; ③在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式. 【解析】对A选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有 GMm/r2 =m v2/r,所以v =GMr；因轨道1的圆半径小于轨道3的圆半径,故此卫星在 轨道1上的速度大于卫星在轨道3上的速度.故A选项错误. 2 对B选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有GMm/r =mω2r ,所以ω= GM,因轨道1的圆半径小于轨道3上的圆半径,故此卫星在轨道1上3r的角速度大于在轨道3上的角速度.故B选项正确. 对C选项.Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点,Q点即在圆周轨道1上又在椭圆轨道2上,Q点到地心的距离r一定.由于万有引力提供向心力,则有GMm/r＝ma向,所以a向2 ＝GM/r2.显然,卫星在圆周轨道1上的Q点和在椭圆轨道2上的上的Q点时具有的向心加速 度均是a向＝GM/r.故C选项错误. 对D选项.由上面的讨论可知,因为圆周轨道3上的P点与椭圆轨道2上的P点是同一点,P点到地心的距离是一定的,由a向＝GM/r得,其在P点得向心加速度是相同的.故D选项正确. 【总结】此题是人造地球卫星的发射与运行的题目.解答此题时,明确此卫星在各个轨道上的速度大小十分重要.设此卫星在轨道1上的Q点速度为V1Q、在轨道2上的Q点速度为 2 2 V2Q、在轨道2上的P点速度为V2P、在轨道3上的P点速度为V3P，因轨道1为近似圆形 轨道，其速度V1Q=7。9km/s,因轨道2为椭圆轨道,故V2Q>7、9km/s(但V2Q<11。2km/s)；卫星在轨道2上由Q点到P点的过程中做减速运动,则有V2P 在这里,明确把卫星发射到预定轨道的过程能够加深对此题意的理解. 同步卫星的发射有两种方法,一种是“垂直发射”，是用火箭把卫星垂直发射到36000km的赤道上空,然后使之做90的旋转飞行,使卫星进入同步轨道.另一种方法是“变轨发射”,即先把卫星发射到高度为200km至300km高处的圆形轨道上(也叫“停泊轨道”)。当卫星穿过赤道平面时，末级火箭点火工作，使火箭进入一个大的椭圆轨道，其远地点恰好在赤道上空的36000km处。此轨道叫做“转移轨道”.当卫星达到远地点时,启动卫星的发动机使之再加速进入同步轨道(即稳定运行的预定的圆形轨道).第一种方法在全过程种,火箭推动卫星处于“强动力”的飞行状态，必须消耗大量燃料，且要求在赤道上修建发射场，很不科学。第二种方法，运载火箭的耗能较少，发射场地设置受限较小，但技术要求很高。目前人类发射同步卫星均用第二种方法。 0第 - 24 - 页 共 27 页 12．必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同 对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动. 对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由 GMm/r2 =m v2/r得v =GM2 r, 2 其加速度由GMm/r＝ma向得a向＝GM/r.显然,卫星的线速度v和加速度a均与轨道半径r存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学的原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小。然而，此处最易出现的错误就是：既然卫星由于阻力的作用其速度必然减小，则由v =GMr可知，其轨道半径r变大，运行周期也将 变大，显然这是错误的. 导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力. 正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度v必然减少,假定此时卫星的轨道半径r还未来得及变化,即有万有引力F引=GMm/r也未变化；而向心力F向= m v/r则会变小.因此,卫星正常运行时“F引=F向”的关系则会变为“F引>F向”，故而在万有引力作用下卫星必做近地向心运动,从而使轨道半径r变小;又由公式v =GM2 2 r可知,卫星的运行速度 必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重力势能减少)为条件的. 例17： (2000年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨道会慢慢改变.某次测量中卫星的轨道半径为r1,后来变为r2且r1>r2。以EK1、EK2分别表示卫星在这两个轨道的动能.T1、T2分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期,则有 ( ) A. EK1 【审题】:求解此题必须明确以下几点: ①卫星动能的大小能代表速率的大小,其关系是动能EK=速率的大小来分析动能的大小. 1mV2,因而可以通过分析2第 - 25 - 页 共 27 页