图3.2 N=16时OFDM信号时域波形
由图可以看出，若四个子载波在一点上同时处于上升或者下降的状态，那么在该点处叠加后合成的OFDM信号就会处于较高或者较低的峰值，此时就会产生较高的PAPR值。所以，我们知道在多载波系统中，峰平比主要受子载波个数的影响，子载波个数增加，系统的峰平比升高。 3.3.2 PAPR的概率分布及分析
假设一个OFDM信号包含N个载波，那么经过快速傅里叶逆变换后，得到的归一化复数基带归一化功率信号可以表示为: x(t)?1NN?1?i?0Xieji?ft (3.3)
这里，Xi为对子载波进行调制的基带信号，于QPSK调制而言，Xi∈{1，-1，j，-j?，伪随机变量，所以，当N大到一定的程度时，由中心极限定理可以知道，x(t)的实部和虚部都呈高斯分布，均值为0。因此，OFDM信号的幅度服
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从瑞利分布，而功率服从均值为0，方差为1的二位自由度的?2分布。因为?2?2?分布的积累概率分布为：
F?z??1?e?z （3.4）
对于OFDM信号，N个子载波之间相互正交，采样点之间彼此独立，那么PAPR小于小于某一门限的积累概率分布函数为：
P(PAPR?z)??F?z???1?eN??z?N (3.5)
由此，我们对PAPR的概率分布有了一定的认识，我们知道，对于OFDM信号，当经过IFFT后的多个同相数据叠加时，输出信号的包络起伏就会变大，就会产生极大地峰值。为了减弱或者消除包络中的起伏，我们需要增加系统中的线性动态范围，但是峰值出现的几率较低，并且放大器将工作在远远低于其最大输出的范围内，大大降低了放大器的功率效率。但是同时，信号的频谱也被扩展，对邻近信道造成干扰，从而破坏了信号的正交性。
与单载波信号相比，OFDM信号由N个子载波组成，当采用的调制方式相同时，其PAPR的峰值将是单载波信号的N倍。当N很大时，放大器很难满足所有的信号都在线性区域中，对信号进行线性放大。所以在传输中，有可能对存在很高的PAPR的传输信号进行削波，减小了系统容量，从而导致信号的频谱得到扩展，子载波之间相互干扰，大大降低了系统的传输性能[12]。
面对过高的PAPR，我们需要提供将发送端功率放大器和A/D,D/A转化器的线性动态范围做的很大，这样就需要提供额外的功率和电池，设备的尺寸及性能也要提高，所以高的PAPR也提高了系统设备的成本。 3.3.3 降低PAPR的常用方法
为了制定峰值功率比的控制方案可以从两个角度来考虑： 1）基于放大器的角度
（1）最直观的的方法就是改进功率放大器的性能，提高放大器的线性范围，但是会造成系统成本的增加和功率的浪费；
（2）可以采用预失真的方法，但这需要对系统进行准确的非线性建模。
2）基于信号处理的角度
（1）最简单也是最简单的方法就是采用限幅技术，限定PAPR的值不能超过某一个值，显然，限幅后输出的OFDM波形都在一定的门限以内；
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（2）采用编码技术也可以有效地控制峰均比。主要思想是在发送机进行信道编码时，只选用那些PAPR的值小于系统可以接受的最小的PAPR值的码子进行发送，从而有效的控制PAPR。
（3）选择映射技术。由于PAPR取值是服从一定的概率分布的，而且取得最大值的概率很小，所以可以通过进一步减小PAPR取得较大值的概率的方法，来控制PAPR。
（4）其他技术。如信号压缩扩展技术，是借鉴了PCM中的非均匀量化的思想，使变换后大的信号被压缩，小的信号相对加强，然后再接收端做相应的反变换。另外还有冲击整形技术等。
在本章中，主要介绍限幅技术，编码技术和选择映射技术。
1）限幅技术
传统的限幅如图3.3.3所示。Th是预定限幅门限，Aout代表输出信号的幅度，Ain代表输入信号的幅度。限幅技术的基本原理是输入的时域信号经过IFFT后，通过一个限幅器,输出信号的幅度则被限制在一个给定的门限值范围内。
图3.3传统的限幅原理图
设N点的IFFT输出序列可以表示为：
sn?1NN?1?k?0Akej2?k(n/N)，0?k?N?1 （3.6）
对于IFFT输出后的信号可以用公式3.3.7进行限幅处理，最后得到限幅后的
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信号为sn：
?sn?Amax?sn ?sn?? j?(sn)Ae s?A ?nmax?max? （3.7）
式中：Amax为预先给定的幅度值，称为限幅幅度。限幅法可以显著地降低OFDM信号的PAPR。但是，由于限幅对信号的处理是一个非线性的过程，在时域上改变了信号的幅度特征,相当于引入了一个噪声源。这样，就会引起非线性失真，这种失真既会引起带内的信号畸变,也可能引起带外频谱弥散。为了说明这个现象，我们仿真出限幅后与限幅前信号功率谱密度对比的曲线图，如图3.3.4所示。可以看到,在功率谱密度为-25 dB处,经过限幅后的信号功率开始出现弥散现象;在接近-40 dB处,其频谱宽度超过了原来OFDM信号的2倍。
图3.4 原OFDM输出信号和限幅后信号的功率谱
为了减小在限幅过程中引起的非线性失真，我们可以将纠错编码与限幅相结合。具体的方法为：将限幅引起的非线性失真等效为线路中其他的非线性失真，这样我们就可以直接来解决所等效的非线性失真，可以采用纠错性能较好的信道编码来解决。这样，经过信道编码纠正了由非线性失真引起的误码，可以使PAPR满足实际要求，而且取得较好的误码率性能。
2）编码技术
OFDM系统中的大幅度信号出现的概率是很小的，由此信号中大的PARP
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值出现的概率也很小。由此想到可以通过计算所有码组的PARP，除去那些PARP大的码组，剩余的码组为许用码组。但只适用于长度较短的码字，在载波数很大时，编码和解码都需要查看大量的表格，计算两过大，而且没有一定的纠错功能力。所以我们可以采用编码的方法来控制PAPR.。
对信号进行编码处理来改进信号的峰平比要在OFDM 调制之前进行。编码技术可以分为两种思路：1.选择满足峰平比要求的波形，并将这些波形分配到需要传送的信息序列上去；2.将传输序列分为两个互补的子序列，一个用于传送有用信息，另一个用于传送优化的参数，通过调整参数降低来峰平比。
我们可以知道，在我们选择较小的峰平比作为传输码字的时候，我们必须对所有的码字进行搜索，但只有一部分PAPR较大，必然产生一定的编码冗余度。如果我们可以将这些冗余度用来进行纠错，则可以大大提高信道带宽的利用率。 以下运用格雷(Golay)互补序列和Reed-Muller编码这两种方法，将PAR严格地限制在3dB之内，并且比较两种方法的性能。 （1）格雷互补序列抑制PAR的原理
序列x足：
N?1?(x0,x1,?,xN?1)和y?(y0,y1,?,yN?1)为一对长度均为N的序列，若满
?k?0?2N,i?0xkxk?i?ykyk?i???0,i?0 （3.8）
则序列x和y构成一对格雷互补序列。格雷互补序列对中的每一个序列都称为格雷序列。对式(3.3.8)两边进行FFT后可得： 式中
X(f)2X(f)22?Y(f)2?2N （3.9）
为x的功率谱，Y?f?为y的功率谱。由式（2.12）可得：
X(f)?2 2N （3.10）
若序列x的功率为1，则对于具有N个子载波的OFDM信号叠加后的X(f)平均功率为N，所以Golay（格雷）互补序列的最大峰均功率比满足不等式：
PAR?2NN?2
，即3dB （3.11）
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