【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题；作图题；导数的综合应用．
【分析】由题意得+=+，（a＜2）；从而构造函数f（a）=+，
（a＜2），从而作函数的图象辅助，当a＜0时，（fa）=﹣+，f（′a）=﹣
=，从而确定函数的单调性及最值；同理确定当0＜a＜2时的单调性及最
值，从而解得．
【解答】解：∵a+b=2，b＞0， ∴
+
=+
+
，（a＜2）； ，（a＜2），
设f（a）=
作此函数的图象，如右图所示；
利用导数研究其单调性得， 当a＜0时，f（a）=﹣
+
，
f′（a）=﹣=，
当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时，
+
取得最小值；
同理，当0＜a＜2时，得到当a=时，
+
取得最小值；．
+
取得最小值；
综合，则当a=﹣2时，故答案为：﹣2．
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【点评】本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）（2015?崇川区校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2acosA． （1）求角A的大小； （2）若
?
=
，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A的大小； （2）若
?
=
，根据向量的数量积，求出AB?AC的大小即可，求△ABC的面积
【解答】解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA， 即sin（B+C）=2sinAcosA， 则sinA=2sinAcosA， 在三角形中，sinA≠0， ∴cosA=， 即A=（2）若
； ?
=
，
，
则AB?ACcosA=AB?AC=即AB?AC=2
，
则△ABC的面积S=AB?ACsinA==．
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【点评】本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键． 16．（14分）（2010?江西模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】证明题． 【分析】对于（Ⅰ），要证EF∥平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接AC，EF为中位线，从而得证； 对于（Ⅱ）要证明EF⊥平面PDC，由第一问的结论，EF∥PA，只需证PA⊥平面PDC即可，
已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再证明PA⊥CD，而这需要再证明CD⊥平面PAD，
由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA（3分） 且PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD（6分）
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD， ∴CD⊥PA（9分） 又PA=PD=
AD，
，即PA⊥PD（12分）
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=
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而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）
【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时，往往还要通过线面垂直来进行．
17．（14分）（2016秋?苏州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1．
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2（1）①求椭圆C的标准方程； ②若∠F1QF2=
，求QF1?QF2的值．
（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由三角形的面积
2
2
2
=?2c?1，即可求得，将点P（3，1）代入
时，
椭圆方程，由椭圆的性质a=b+c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；当
根据椭圆的性质及完全平方公式，即可求得QF1?QF2的值； （2）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x1?x2及y1?y2，由题意可知
?
=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得实数k的值．
，将点P（3，1）代入椭
【解答】解：（1）①由条件，可设椭圆的标准方程为圆方程， ∴由
2
2
2
， =?2c?1=2
，即
…（2分）
又a=b+c， 22
∴a=12，b=4， ∴椭圆的标准方程为：
；…（4分）
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②当时，有…（6分）
∴…（8分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
，得4x+6kx+3k﹣12=0…（10分）
22
由韦达定理及直线方程可知：（12分）
∵以AB为直径的圆经过坐标原点，则
，
，…
解得：，此时△=120＞0，满足条件， 因此…（14分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式，韦达定理及向量数量积的坐标的综合运用，考查计算能力，属于中档题． 18．（16分）（2016秋?苏州月考）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．
（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围； （2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．
【考点】三角函数的最值．
【专题】应用题；综合法；三角函数的求值． 【分析】（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．构建直角三角形，通过解直角三角形、勾股定理和弧长公式进行解答；
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