（2）将（1）中的函数关系进行变形得到．W（′θ）
=0，，因为，所以．然后结合θ的取值范围进行分类讨论，
利用三角函数的单调性进行解答． 【解答】解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G． 在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20﹣16cosθ 在Rt△MNG中，由题意易得因此，
，
，
；
，
（2）
令W′（θ）=0，设锐角θ1满足当当所以当此时因此当
，因为，
，所以
．
时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减； 时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增． ，总造价W最小，最小值为，，， 米时，能使总造价最小．
，
【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出W关于θ的函数，是解答本题的关键．
19．（16分）（2016秋?苏州月考）在数列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n﹣1． （1）求证：数列{an+n}为等比数列；
（2）记bn=an+（1﹣λ）n，且数列{bn}的前n项和为Tn，若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．
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【分析】（1）由an+1=3an+2n﹣1，整理得：an+1+n+1=3（an+n）．由an+n＞0，
，
可知{an+n}是以3为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）求得数列{bn}通项公式及前n项和为Tn，由T3为数列{Tn}中的最小项，则对?n∈N有的取值范围， 当n≥4时，围．
【解答】解：（1）证明：∵an+1=3an+2n﹣1， ∴an+1+n+1=3（an+n）． 又a1=2，
∴an＞0，an+n＞0， 故
，
，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得λ的取值范
*
恒成立，分类分别求得当n=1时和当n=2λ
∴{an+n}是以3为首项，公比为3的等比数列 …（4分） （2）由（1）知道∴∴
若T3为数列{Tn}中的最小项，则对?n∈N有即3
n+1
*
，bn=an+（1﹣λ）n，
．…（6分）
．…（8分）
恒成立，
﹣81≥（n+n﹣12）λ对?n∈N恒成立 …（10分）
；
2*
1°当n=1时，有
2°当n=2时，有T2≥T3?λ≥9； …（12分）
2
3°当n≥4时，n+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立， ∴
对?n≥4恒成立．
令成立， ∴
，则对?n≥4恒
在n≥4时为单调递增数列．
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∴λ≤f（4），即综上，
．…（15分） ．…（16分）
【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查数列的前n项和公式，数列与不等式结合，利用函数的单调性，求最值，考查计算能力，属于难题．
20．（16分）（2016秋?苏州月考）已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x﹣ax． （1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）； （2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图象上任意两点，且满足
＞1，求实数a的取值范围；
2
（3）若?x∈（0，1]，使f（x）≥
成立，求实数a的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，分t≥1和0＜t＜1讨论函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的单调性，由单调性求得最小值； （2）由
2
＞1，可得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，构造函数F（x）
=h（x）﹣x=x﹣（a+2）x+lnx，可知F（x）在（0，+∞）上单调递增，由其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立求得实数a的取值范围； （3）把f（x）≥数求其最大值得答案． 【解答】解：（1）
，令f'（x）=0，则x=1， 变形，分离参数a，然后构造函数
，利用导
当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为f（t）=t﹣lnt；…（1分） 当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为减函数，在区间（1，t+1）上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=1．
综上，当0＜t＜1时，m（t）=1；当t≥1时，m（t）=t﹣lnt．…（3分）
2
（2）h（x）=x﹣（a+1）x+lnx，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，则x1﹣x2＜0， 则由
，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，
变形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，…（5分）
2
令F（x）=h（x）﹣x=x﹣（a+2）x+lnx，
2
则F（x）=x﹣（a+2）x+lnx在（0，+∞）上单调递增， 故
在（0，+∞）恒成立，…（7分）
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∴∵（3）∵
在（0，+∞）恒成立． ，当且仅当
时取“=”，∴
2
；…（10分）
，∴a（x+1）≤2x﹣xlnx．
∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]， ∴?x∈（0，1]使得
成立．
令
2
，则，…（12分）
令y=2x+3x﹣lnx﹣1，则由当当∴
时，y'＜0，则y=2x+3x﹣lnx﹣1在
2
，可得或x=﹣1（舍）． 上单调递减；
上单调递增．
时，y'＞0，则y=2x+3x﹣lnx﹣1在，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．
2
∴t（x）在（0，1]上单调递增．则a≤t（1），即a≤1．…（15分）
∴实数a的最大值为1．…（16分）
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，训练了恒成立问题的求解方法，合理构造函数并正确求导是解题的关键，是压轴题．
[选修4-1：几何证明选讲] 21．（10分）（2016秋?苏州月考）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=1，PB=9，求EC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆．
【分析】根据弦切角∠PAE=∠ABC=60°，又PA=PE，可知△PAE为等边三角形，由切割定
2
理可知PA=9，求得EB=PB﹣PE=6，由相交弦定理EC?EA=EB?ED=12，即可求得EC． 【解答】解：弦切角∠PAE=∠ABC=60°，又PA=PE， ∴△PAE为等边三角形，
由切割线定理有PA=PD?PB=9，…（5分）
∴AE=EP=PA=3，ED=EP﹣PD=2，EB=PB﹣PE=6，
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2
由相交弦定理有：EC?EA=EB?ED=12， ∴EC=12÷3=4， EC=4．．…（10分）
【点评】本题考查圆的弦切角的性质，考查切割定理、相交弦定理，考查数形结合思想，属于中档题．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（10分）（2016秋?苏州月考）已知
2
=为矩阵A=属于λ的一个特征向量，
求实数a，λ的值及A．
【考点】特征值与特征向量的计算．
【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．
【分析】由条件可知【解答】解：由条件可知∴
，可得方程组，即可求实数a，λ的值及A．
，
2
，解得a=λ=2． …（5分）
因此，所以． …（10分）
【点评】本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．（2016秋?苏州月考）自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ=3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM?OP=12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程． 【分析】设P（ρ，θ），M （ρ'，θ），由于OM?OP=12，可得ρρ'=12．又ρ'cosθ=3，代入可得极坐标方程，利用互化公式即可得出． 【解答】解：设P（ρ，θ），M （ρ'，θ）， ∵OM?OP=12，∴ρρ'=12．
∵ρ'cosθ=3，∴．
则动点P的极坐标方程为ρ=4cosθ．
2
∵极点在此曲线上，得ρ=4ρcosθ． 22
∴x+y﹣4x=0．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲] 24．（2016?南京三模）已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3． 【考点】绝对值不等式的解法．
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