（3）如果两厂商都开发这一技术，两家边际成本都为0。 由MC1?50?0.5y2?y1?0和MC2?50?0.5y1?y2?0得
y1?50?0.5y2y2?50?0.5y1得y1?y2?
100200，y?y1?y2? 33P=50－200/6=50/3
?2??1?pq?TC?(50/3)(100/3)?550?5.56
14．在古诺模型中，行业的需求曲线函数为p=1－y，可变成本为0。行业的厂商数量达
到了均衡。试问：
（1）当厂商数量分别为2个、3个和N个时，求每一厂商均衡的价格和利润。
（2）假设可变成本仍为0，但每一厂商有0.05的进入该行业的进入成本，计算（1）时每一厂商的均衡价格和利润？如果可能免费进入该行业，长期均衡的厂商数量为多少？
（3）假设该行业N个厂商中的每一厂商都相信自己能占有1/N的产量，在这种情况下，厂商的长期均衡的数量是多少？
解：（1）当只有两个厂商时，这两个厂商的利润函数分别为?1?(1?y1?y2)y1，
?2?(1?y1?y2)y2
由
??1?0得厂商I的反应函数为y1?1/2?y2/2 ?y1??2?0得厂商Ⅱ的反应函数为y2?1/2?y1/2 ?y22 3由
解得：y1?y2?1/3 y?y1?y2? p?1?2/3?1/3
?1??2?py1?1/9
三个厂商时，则：
厂商I的反应函数为y1?1/2?y2/2?y3/2 厂商Ⅱ的反应函数为y2?1/2?y1/2?y3/2 厂商Ⅲ的反应函数为y3?1/2?y1/2?y2/2 解得：y1?y2?y3?1/4 P?1?3/4?1/4
?i?1/16 i=1，2，3
当厂商的数量为N时，每个厂商的反应函数可以由下式推出：
1?y1?y2??yn?yi?0 i=1，2，?, N
均衡价格和产量为：
yi?1/(N?1) i?1,2?,N p=1－N/（N＋1）=1/（N＋1） ?i?[1/(N?1)]2 i?1,2?,N
（2）价格和数量是相同的，利润将比前一情况少0.05。在长期，利润为零，即
?1/(N?1)?2?0.05?0，所以N=3.47。厂商的数量一般是整数，所以N=3。
（3）每一厂商的利润为??(1?Ny)y?0.05，y是一个厂商的产量。为使利润最大化，因此有：
令
1???1?2Ny?0，得Ny?则：
2?yP=1－1/2=1/2 y=
在长期，??py?TC?1 2N1?0.05?0，N?5 4N即厂商的长期均衡的数量为5。
15. 考虑在市场有两家企业生产同质产品。市场需求为：其中
2 TCa?5qa TCb?0.5qb
qa和qb分别为企业A和企业B的产量。两家企业的成本函数分别为：
MCa?5 MCb?qb
（1）对于每家企业来讲，什么是帕累托最优的市场价格和产出水平？在帕累托最优价
格和产出水平上，每家企业的利润分别为多少？
（2）假如这两家企业意识到他们之间是相互依存的，为了最优化整个产业的利润而决定合谋。这样产出水平就会统一控制，因此该产业实际上就处于垄断。在这种情形下，每家企业的产出水平、市场价格和利润分别为多少？
（3）下面考虑每家企业都最大化其利润时的古诺解。假定每家企业都在另一家企业的产出量给定时来最大化其自身利润。请计算市场价格、两家企业的产出和利润。
（4）将（1）（2）（3）中的总产出、市场价格和总利润进行比较，你觉得有意义吗？为什么？（人大2006试）
答：（1）对于每家企业而言，要实现帕累托最优，必须满足条件：
P＝MCa＝MCb
即：
100－0.5（qa＋qb）＝5＝qb
所以帕累托最优的市场价格为：P＝5， A和B的产出水平分别为：A的利润为：
qa＝185，qb＝5。
?a＝5?185－5?185＝0
2?＝5?5－0.5?5＝12.5 bB的利润为：
（2）如果两家企业实行合谋，则两家企业将视为一家企业，
其总利润为：
2 ??P(qa?qb)?TCa?TCb?[100?0.5(qa?qb)](qa?qb)?5qa?0.5qb利润最大化的一阶条件为：
??＝100－（qa＋qb）－5＝0?qa ??＝100－（qa＋qb）－qb＝0?qb
因此，可得合谋下，A和B的产量分别为：
qa＝90， qb＝5
此时，市场价格为：P＝100－0.5×95＝52.5 A的利润为：
?a＝52.5?90－5?90＝4275
2?＝52.5?5－0.5?5＝250 bB的利润为：
（3）如果两家企业实行古诺竞争，则A的利润函数为：
?a＝Pqa－TCa＝[100－0.5（qa＋qb）]qa－5qa
利润最大化的一阶条件为：
??a＝95－0.5qb－qa＝0?qa ①
同理，对于B而言，有：
??b＝100－0.5qa－2qb＝0?qb ②
由①、②两式可得，古诺竞争下，A和B的产量分别为：
qa＝80， qb＝30
市场价格为：P＝100－0.5×（80＋30）＝45； A的利润为：
?a＝45?80－5?80＝3200
2?＝45?30－0.5?30＝900 bB的利润为：
（4）将（1）（2）（3）中的总产出、市场价格和总利润进行比较，有意义。
因为通过以上的比较，可以看出竞争性市场比垄断市场和垄断竞争市场效率都高，尽管在竞争性市场上的总利润较小，但是总产量最多，价格最低；古诺竞争导致的结果比合谋的结果有效率。合谋的效率最低，在合谋下尽管利润最多，但是价格较高，总产量较低。
16．假设一个博弈模型中，有两个参与者，一个是政府，一个是私人部门。私人部门选择的是预期的通货膨胀率，政府选择的是给定预期通货膨胀的情况下，所采取的实际通货膨胀率。并且政府不仅关心通货膨胀问题，还关心失业问题。政府的效用函数为：
U??c?2?(y?ky*)2
其中?是通货膨胀率，y*是自然失业率下的均衡产量，y是实际产量，C>0，k>1。 同时假设产出与通货膨胀率之间的关系是由含有通货预期的菲利普斯曲线来决定，也就是说菲利普斯曲线是：
y?y*??(???e) 其中?是预期的通货膨胀率，?＞0。
如果私人都有理性预期，那么运用博弈论的相关知识来证明在短期内政府所采取的通货膨胀政策不能增加产出。
解：因为是在给定私人部门通货膨胀预期的情况下制定货币政策，也就是确定实际通货膨胀率，所以政府面临的最大化问题就是：
maxU??c??(y?ky) y?y??(???)
通过运用拉格朗日函数求解这一最大化问题，可得?的值；
*e2*2e?*?(c??2)?1?(??e?(k?1)y*)
上式就是政府的反应函数。
又由于假设私人部门具有理性预期，也就是说预期的通货膨胀率等于?，这样就将
*?e??*，代入政府的反应函数，可得：
????ce*?1?(k?1)y*
这样由于私人部门有理性预期，实际产出水平将与通货膨胀率无关而等于自然失业率下的产出水平；另一方面却要忍受通货膨胀率的痛苦。所以原题结论得以证明。
17．博弈的报酬矩阵如下：
乙 左 甲 上 下 a，b e，f 右 c，d g，h 要求：
（1）如果（上，左）是占优策略的均衡，那么a、b、c、d、e、f、g、h之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来）
（2）如果（上，左）是纳什均衡，（1）中的关系式哪些必须满足？
（3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？ （4）什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？（北大2000试；西安交大2006试） 解：（1）可能分为三种情况：第一，对甲占优均衡：a>e，c>g，b>d；第二，对乙占优均衡：b>d，f>h，a>e；第三，对甲乙都占优均衡：a>e，c>g，b>d，f>h。
（2）纳什均衡只需要满足：甲选取上的策略时，b>d，同时乙选取左的策略时，a>e。即本题中纳什均衡的条件为b>d，a>e。
（3）占优均衡一定是纳什均衡，因为占优均衡的条件包含了纳什均衡的条件。
（4）当对任何一方而言，任何一种纯策略组合都不满足纳什均衡时，纯策略纳什均衡就不存在。
18．某垄断厂商生产的边际成本固定为5单位，即MC=5。该厂面临的市场需求函数为
Q(P)?53?P
（1）计算该厂商的利润最大化的价格、产量和利润以及垄断所带来的净福利损失。现假设第二个厂商加入到这个市场。该厂商具有和第一个厂商相同的成本函数。假设两个厂商进行古诺竞争（Cournot competition）。
（2）写出每个厂商最优的反应函数。 （3）找出古诺均衡的产量水平。
（4）市场的均衡价格是多少？计算每个厂商的利润。 （5）如果两个厂商进行贝特兰竞争（Bertrand competition），那么市场的均衡价格是多少？（北大2003试）
解：（1）利润最大化时有MC＝MR 又R（Q）＝PQ＝（53－Q）Q ∴MR＝53－2Q
∵MC＝5 ∴Q?53?5?24 2P=53－Q=29
π＝PQ－C＝29×24－5×24＝576
（由于固定成本不影响决策，所以被忽略）垄断所带来的福利损失由图8.5中阴影部分刻划。
图8.5 古诺均衡
MR与MC交点为A，过A作Q轴垂线交P＝P（Q）曲线于B，B点对应的Q＝24，P＝29为所求。
（2）两厂商各自利润函数为
?1?(53?q1?q2)q1?5q1
?2?(53?q1?q2)q2?5q2