例1、 已知函数表
x -1 1 2 f(x) -3 0 4 求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解：
（1） 由题可知 xk -1 1 2 yk-3 0 4
插值基函数分别为
l?x0(x)??x?x1??x2??x??x?1??x?2??1?2??16?x?1??x?2?
0?x1??x0?x2???1?1??l?1(x)??x?x0??x?x2?x??x?1??x?2?2???1?x?1??x?2?1?x0??x1?x2??1?1??1?2
l?x?x2(x)?0??x?x1??x?1??x?1?x?x???1?x?1??x?1?
20??x2?x1??2?1??2?1?3故所求二次拉格朗日插值多项式为
2L2(x)??yklk?x?k?0??3?16?x?1??x?2??0?????1?12?x?1??x?2????4?3?x?1??x?1?
??142?x?1??x?2??3?x?1??x?1??56x2?372x?3
（2）一阶均差、二阶均差分别为
1
f?x0,x1??f?x1,x2??f?x0??f?x1?x0?x1f?x1??f?x2?x1?x2???3?03??1?120?4?41?2
3f?x0,x1??f?x1,x2?2?45f?x0,x1,x2????x0?x2?1?26均差表为 xk -1 -3 1 2 0 4 3/2 4 5/6 f(xk) 一阶 二阶
故所求Newton二次插值多项式为
P2?x??f?x0??f?x0,x1??x?x0??f?x0,x1,x2??x?x0??x?x1?35?x?1???x?1??x?1?26537?x2?x?623??3?
例2、 设f(x)?x
解：
2试求f(x)在[0, 1]上关于?(x)?1，??span?1,x??3x?2，x?[0,1]，
的最佳平方逼近多项式。
若??span?1,x?，则?0(x)?1，?1(x)?x，且?(x)?1，这样，有
??0,?0???1dx?1,011??1,?1???x2dx?011311??0,?1????1,?0???xdx?,20?f,?0????x2?3x?2?dx?023 6?f,?1???x?x2?3x?2?dx?0194所以，法方程为
??1??1??21?1??23??23??1???a0??6?2??a0??6?2??????? ???9?，经过消元得?a1??1?1????0??a1??1????3??12????4???3??再回代解该方程，得到a1?4，a0?11 62
*故，所求最佳平方逼近多项式为S1(x)?x11?4x 6例3、 设f(x)?e，x?[0,1]，试求f(x)在[0, 1]上关于?(x)?1，??span?1,x?的最佳
平方逼近多项式。 解：
若??span?1,x?，则?0(x)?1，?1(x)?x，这样，有
?1?0,?0???1dx?10?1?1,?1???x2dx?103?1????10,?1?1,?0???xdx?
02?1f,?0???exdx?1.71830?1f,?1???xexdx?10所以，法方程为
??11??2??11??a0??????1.7183??1???2??a? 1??3?解法方程，得到a0?0.8732，a1?1.6902， 故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*(x)?0.8732?1.6902x
例4、 用n?4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分?91xdx。
解：
（1）用n?4的复合梯形公式
由于h?2，f?x??x，xk?1?2k?k?1,2,3?，所以，有
?91xdx?T4?h32[f?1??2?f?xk??f?9?]k?1
?22[1?2??3?5?7??9]?17.2277
3
（2）用n?4的复合辛普森公式
由于h?2，f?x??x，xk?1?2k?k?1,2,3?，xk?1?2?2k?k?0,1,2,3?，所以，有
2?91xdx?S43?h6[f?1??4?f???x?31??2k?0?k??f2??xk??f?9?]?k?1
?13[1?4??2?4?6?8??2??3?5?7??3]?17.3321例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
??12x1?3x2?3x3?15??18x1?3x2?x3??15 ??x1?x2?x3?6解：先消元
?12?3315??Ab?????183?1?15???1116?????183?1?15????r1?r2???12?3315? ??1116???2??183?1?15??????????????m21??3,第1行（??m21）第?2行?第2行?0?1735?m1??31??18,第1行（??m31）第?3行?第3行??0761718316?????183?1?15????r2?r3???0761718316? ??0?1735???????????????m67第2行（??m行??183?1?15?32??,32）第?3行?第3????0761718316???00227667???再回代，得到x3?3，x2?2，x1?1
所以，线性方程组的解为x1?1，x2?2，x3?3
例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
4
??14x1?15x2?16x3?9???1x11?31?4x2?5x3?8
??1?2x1?x2?2x3?8解： 设
??111??456?10?u13?A??11????10????u11u12u23??345??l2110?0u?1??1???22?0u??LU 33????212??l31l32??0??则由A?LU的对应元素相等，有
u111?4，u?15，u?112136， l14121u11?3?l21?3，l31u11?2?l31?2，
l14??160，l1121u12?u22??u2221u13?u23?5?u23??45，
l?1?l1331u12?l32u2232??36，l31u13?l32u23?u33?2?u33?15
因此，
????111?100???456??A?LU??4?10???1??3??0?145? ?2?60?361???13???0015?????100???y1?解Ly?b，即?4?10????9???y2??8?，得y?9，y??4，y??154 ?3?2?361???y???123?3????8????111??456?解Ux?y，即?0?1???1???x1??9??6045?x2????4?，得x??177.69，x?476.92，?13??????x?3?????32??154???0015??所以，线性方程组的解为x1??227.08，x2?476.92，x3??177.69
x1??227.085