最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T
.
36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
?10xf?x?dx?A?1?0f??2???A1f?1?
取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：
A110?A2A1111?，20?A1?3A
0?3A，1?6 f(x)=x2
时，公式左右=1/4; f(x)=x3
时，公式左=1/5, 公式右=5/24
∴ 公式的代数精度=2
?12?2??1?A???111?b??2?37、（15分）已知方程组Ax?b，其中
?????221??，??3??， （1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；
解：（1）Jacobi迭代法的分量形式
?x(k?1)(k)(k)?1?1?2x2?2x3?x(k?1)x(k)(k)2?2?1?x3;k?0,1,2,??x(k?1)?3?2x(k)?2x(k)312Gauss-Seidel迭代法的分量形式
??x(k?1)?2x(k)(k)1?12?2x3?x(k?1)(k?1)(k);k?0,1,2,?2?2?x1?x3?x(k?1)3?3?2x(k?1)1?2x(k?1)2（2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为
?0?22?B?D?1(L?U)????10?1???2?20????，
?1??2??3?0，?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛
Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为
?0?22?G?(D?L)?1U???02?3??002????，
?1?0,?2??3?2，?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法发散
40、(10分)已知下列函数表：
x 0 1 2 3 f(x) 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式；
26
(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算 解：（1）
f(1.5)的近似值。
(x?1)(x?2)(x?3)(x?0)(x?2)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?2)???(0?1)(0?2)(0?3)(1?0)(1?2)(1?3)(2?0)(2?1)(2?3)(3?0)(3?1)(3?2)48?x3?2x2?x?13 3
01L3(x)?21362429（2）均差表：327 18 6 3
4N3(x)?1?2x?2x(x?1)?x(x?1)(x?2)3
f(1.5)?N3(1.5)?5
42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分近似值（保留4位小数）。
?201dx21?2x的
解：5个点对应的函数值xi 0 f(xi) 1 f(x)?11?2x2 0.5 1 1.5 2 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 ----------------------------------------------------------（2分） (1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：
T4?(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：
0.5[1?2?(0.666667?0.333333?0.181818)?0.111111]2 ?0.868687
1S2?[1?4?(0.666667?0.181818)?2?0.333333?0.111111]6 ?0.861953
43、(10分)已知方程组Ax?b，其中
?211??1??b??1?A??121???????112??，?1??
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi迭代法：
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(k)(k)?x1(k?1)?(1?x2?x3)/2?(k?1)(k)(k)?x2?(1?x1?x3)/2?x(k?1)?(1?x(k)?x(k))/212?3
??0?1?121?2??1?B?D?1(L?U)??0?22??11?Jacobi迭代矩阵：
??220???
?(B)?1 收敛性不能确定
（2）Gauss-Seidel迭代法：
??x(k?1)?(1?x(k)(k)12?x3)/2?x(k?1)(k?1)(k)2?(1?x1?x3)/2??x(k?1)?(1?x(k?1)31?x(k?1)2)/2
??011??22?G?(D?L)?1U??11??0???42??0?1?1?Gauss-Seidel迭代矩阵：??88????(B)??5?7i16?18?1 该迭代法收敛
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