答案：解： 应选三个节点，使误差
|R2(x)|?M3|?3(x)|3!
尽量小，即应使|?3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点
{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果
sin0.63891?0.596274，
且
sin0.63891?0.596274?1(0.63891?0.5)(0.63891?9?0.6)(0.63891?0.7)3!?0.55032?10?4
x7、构造求解方程e?10x?2?0的根的迭代格式xn?1??(xn),n?0,1,2,?，讨论其收敛
性，并将根求出来，|xn?1?xn|?10。
xf(x)?e?10x?2,答案：解：令
?4f(0)??2?0,f(1)?10?e?0.
x??)，故f(x)?0在(0,1)内有唯一实根.将方程且f?(x)?e?10?0对?x?(??，f(x)?0变形为
x?1(2?ex)10
则当x?(0,1)时
?(x)?故迭代格式
1(2?ex)10，
exe|??(x)|????11010
xn?1?1(2?exn)10
收敛。取x0?0.5，计算结果列表如下：
n 0 0.5 4 1 0.035 127 872 5 2 0.096 424 785 6 3 0.089 877 325 7 16
xn n xn 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 |x7?x6|?0.00000095?10?6.所以x*?0.090525008.
??x1?2x2?3x3?14?2x1?5x2?2x3?18 8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 ??3x1?x2?5x3?20。
?13???12?A?LU??21??1?4?答案：解：
?????3?51????24??? 令Ly?b得y?(14,?10,?72)T，Ux?y得x?(1,2,3)T.
??3x1?2x2?10x3?15?10x1?4x2?x3?5 9﹑对方程组 ??2x1?10x2?4x3?8
（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
（2） 取初值x(0)?(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k?1)?x(k)||??10?3。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
??10x1?4x2?x3?5?2x?1?10x2?4x3?8?3x1?2x2?10x3?15
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
??x1(k?1)?1(4x(2k)?x(3k)?5)?10??x(k?1)?1(?2x(k?1)(k)?2101?4x3?8)???x(3k?1)?110(?3x1(k?1)?2x(2k?1)?15)
取x(0)?(0,0,0)T,经7步迭代可得：
x*?x(7)?(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.
10、已知下列实验数据
xi 1.36 1.95 2.16
要求
17
f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
xedx??f(x)?e解：当0 1x 要求近似值有5位有效数字，只须误差 (n)R1((n)R1(f)?1?10?42. 由 (b?a)3f)?f??(?)212n，只要 (n)R1(ex)e?e1?4????1012n212n22 即可，解得 n?e?102?67.30877???6 所以 n?68，因此至少需将 [0,1] 68等份。 ?1?11??x1???4??5?43??x????12????2????211????x3????11??。 11、用列主元素消元法求解方程组 ??1?11?4??5?43?12?r?r?5?43?12???1?2??1?11??4???????21111???21111?? 解： ??5?1r2?r1?5??????02r3?r1??05???5?1r3?r2?13??????0??0????12???5128?r2?r3??????????0555??13179??0??555????43?4?12??13179???555?55??1313?? 3??12?13179???555?128???555?? ?43回代得 x3??1,x2?6,x1?3。 ?x 12、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e在区间[0,1]上的二次插值多项式 18 P2(x),并估计误差。 (x?0.5)(x?1)(x?0)(x?1)解： P?02(x)?e?(0?0.5)(0?1)?e?0.5?(0.5?0)(0.5?1) ?e?1?(x?0)(x?0.5)(1?0)(1?0.5)?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5) 又 f(x)?e?x,f???(x)??e?x,M3?xmax?[0,1]|f???(x)|?1 |R)|?|e?x?P故截断误差 2(x2(x)|?13!|x(x?0.5)(x?1)|。 14、给定方程 f(x)?(x?1)ex?1?0 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 (x?1)ex?1?0 （1） 改写为 x?1?e?x （2） 作函数f1(x)?x?1，f?x*2(x)?e的图形（略）知（2）有唯一根x?(1,2)。 2) 将方程（2）改写为 x?1?e?x ?xk?1?1?e?xk?构造迭代格式 ?x0?1.5 (k?0,1,2,?) 计算结果列表如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) ?(x)?1?e?x，??(x)??e?x 当x?[1,2]时，?(x)?[?(2),?(1)]?[1,2]，且 |??(x)|?e?1?1 19 所以迭代格式 xk?1??(xk)(k?0,1,2,?)对任意x0?[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。 2解：3是f(x)?x?3?0的正根，f?(x)?2x，牛顿迭代公式为 2xxn?33xn?1?n?xn?1?xn?22xn2xn， 即 (n?0,1,2,?) 取x0=1.7, 列表如下： n xn 1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： L2(x)?2??(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?3??4?(?1?1)(?1?2)(1?1)(1?2)(2?1)(2?1) 234(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1)323 1f(1.5)?L2(1.5)??0.0416724 1x17、n=3,用复合梯形公式求?0解： edx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。 ?01xedx?T3?1?00[e?2(e13?e23)?e1]?1.73422?3 f(x)?ex,f??(x)?ex，0?x?1时，|f??(x)|?e |R|?|ex?T3|?至少有两位有效数字。 ee??0.025??0.05210812?3 ?301??x1??5???????1?31???x2???1??1?14??x???8???3?=??， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 ?取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为： 20