2 等价关系与集合的划分（ｐａｒｔｉｔｉｏｎ） 关系：集合S×S的子集Ｒ叫S的一个二元关系。
等价关系：满足反身性、对称性、传递性的二元关系叫等价关系。 例 矩阵的等价，合同，相似，正交相似等都是等价关系。 设Si都是S的子集，如果：（１）S??Si?Ii；（２）对任意i,j，有Si?Sj或Si?Sj??，
则称{Si}为S的一个划分（分类），称Si为S的一个类。
命题 集合S上的任意一个等价关系确定S的一个分类，这样的类叫等价类；S的任意一个分类都决定S上的一个等价关系．
例 设H?G，x,y?G，规定：xR1y?xy?H；xR2y?xy?H，
则R1,R2都是G上的等价关系，且x关于等价关系R1,R2所在的等价类分别为包含x的左、右陪集。（自己证明） 3 拉格朗日定理 命题 （1）G??1?1x?G?Hx，且如果G有限，那么Hx?H；
（2）设H?G，?x,y?G，有Hx?Hy??或Hx?Hy. 注：称G/H?{Hx|x?G}为陪集空间。 定理 设G是有限群，H?G，那么 (A)H|G.
(B) G关于子群H的左、右陪集个数相等，都是
|G|，它叫H在G中的指数。 |H||G|推论 设a?G，则o(a)∣G，从而对任意a?G有a?e.
问题：设G?n，m∣n，G中是否必有m阶子群？
若m = pr, 根据以后学习的Sylow定理知结论成立；若m含有两个及以上素因子，结论不成立。例如A4为12阶群，它没有6阶子群。 例 设G?6，则G中包含2阶元和3阶元。
分析：前面已经证明偶数阶群必有2阶元，只要证明G中包含3阶元。需要排除G*中只包含2阶元的情况。否则，G为交换群，从而G有4阶子群，与拉格朗日定理矛盾。
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例 （1）设H, K都是群G的有限子群，那么|HK|?|H|?|K|.
|H?K|（2）设H, K都是群G的有限子群，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|.
（3）设H, K都是群G的有限子群，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|. |G:H|,|G:K|互素，证明 （1）考虑满射?:H?K?HK，?h?H,k?K,?h,k??hk. 集合HK中任意元素hk的原象恰好由形如hx,xk,x?H?K的元素构成，所以集合HK中任意一个元素hk都对应于卡氏积H?K中的|H?K|个元素. 因此|HK|????1?|H|?|K|.
|H?K|另证 集合HK中包含H的右陪集个数为|HK|/|H|，K中包含H?K的右陪集个数为
|K|/|H?K|。由于映射Hx?(H?K)x,x?K为HK中包含H的右陪集集合到K中
包含H?K的右陪集的双射，所以|HK|/|H|?|K|/|H?K|.
（2）?:(H?K)x?(Hx,Kx)是陪集空间G/?H?K?到?G/H???G/K?的映射，且
(Hx,Kx)?(Hy,Ky)当且仅当xy?1?H?K，当且仅当(H?K)x?(H?K)y，所以?是单射，即|G:H?K|?|G:H||G:K|.
（3）根据拉格朗日定理，|G:H|,|G:K|都整除|G:H?K|。如果|G:H|,|G:K|互素，那么|G:H?K|?|G:H||G:K|.
§4 循环群
1 定义 设G为群，如果存在G中元素a使得G中任意元素都是a的方幂，则称G为循环群，a为G的生成元，记G=(a). 思考题：循环群是否必定是交换群？
?2kn?i?G?{x?C|x?1}?e|k?0,1,?,n?1例1 设n为给定正整数，??为n阶循环群.
??n例2 (Z,?)为无限循环群.
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2 设G=(a)，如果存在不同的整数k，l，使得ak=al，那么G为有限循环群，且o(a)=|G|； 如果对任意不同的整数k，l，都有a≠al，那么G为无限循环群.
k证明 考虑Z到G的映射k→ak. 如果对任意不同的整数k，l，都有a≠al，那么映射是双射。
k如果存在不同的整数k，l，使得ak=al，无妨设k﹥l，那么ak-l=e. 取最小正整数n使得an=e. 那么G={e,a,…, an-1}为有限循环群，且o(a)=|G|. 3 定理 （1）循环群的子群也是循环群.
（2）设G=(a)是无限循环群，那么ak为G的生成元当且仅当k=1或-1；
设G=(a)为n阶循环群，那么ak为G的生成元当且仅当k与n互素. 因此，n阶循环群有?(n)个生成元.
（3）设G=(a)是无限循环群，（a）=（al）当且仅当k=l或-l；
k设G=(a)为n阶循环群，（a）=（al）当且仅当它们的阶数相等.
kn?m?（4）设G=(a)为n阶循环群，m|n，那么?a?是G唯一的m阶子群。
??n?m?nk证明 （4）显然?a?是G的m阶子群. 设是G=（a）的m阶子群.，那么?m，即
(n,k)??n?(n,k). 设k?(n,k)s，那么ak?a(n,k)smn?m?ka比较阶数知??=（a）. ??nn?m??m???a???a?. ????s4 模n剩余类加群
设n为给定整数，无限循环群(Z,?)有子群形如(n)?nZ?{nk|k?Z}，该子群决定了整数集合Z的一个等价关系，从而决定了一个分类。对于任意给定整数k，k所在的等价类是
k?{k?ns|s?Z}。于是得到n个等价类
0?{ns|s?Z},1?{1?ns|s?Z},?n?1?{(n?1)?ns|s?Z}.令Z/(n)?0,1,?,n?1，规定加法如下：i?j?i?j
?? 8
那么: （1）定义的合理性 若i?k,j?l，则i?j?k?l. （2）结合律 i?j?k?i?j?k. （3）零元素0为单位元.
（4）i的负元素（逆元）为?i?n?i. （5）交换律
????Z/(n)?0,1,?,n?1关于上述定义的加法构成一个循环群，叫模n剩余类加群。
同样，规定乘法如下：i?j?ij，那么: （1）定义的合理性 若i?k,j?l，则ij?kl. （2）结合律 i?jk?ij?k. （3）1为单位元. （4）交换律
所以Z/(n)关于上述定义的乘法构成一个交换盟。特别地，如果n为素数，那么
#??????Z/(n)#?Z/(n)?0?1,?,n?1构成群。
作业：1 任意素数阶群都是循环群. 2 非交换群的阶数至少是6.
3 找出12阶循环群G=(a)的所有子群.
4 设群G的子群只有1和G，那么G是素数阶循环群。 5如果p为素数，对任意整数n，只要p不整除n，有n
p?1?????1(modp).
§5置换群
1 置换群
有限集合?到自身上的双射叫?上的置换。 设?,?都是?上的置换，习惯上定义?,?的乘积i????i??.
?命题 有限集合?上的全体置换按变换的合成（乘法）做成群，记S?，称为n次对称群. 注 （1）??{1,2,?,n}时，习惯上S?记作Sn.
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（2） Sn?n!
定义 S?的任意一个子群G都叫?上的置换群，G在集合?上实际变动的文字个数叫G在?上的次数。 2 置换的循环分解
一般地，任意置换可以写成????1??122?n?的形式，但表示方法太繁琐。 ???n??循环置换（轮换）：置换称为循环置换，如果它循环地作用在若干个文字上，且固定其余的文字。用(i1i2?is)表示i1?i2???is?i1，且固定其余的文字的置换，称它的长度为s. 显然，(i1i2?is)的阶数为s.
定理 任意置换可以写成不相交的循环置换的乘积。 注 （1）我们约定置换的合成次序从左到右。 （2）任意两个不相交的循环置换可以交换。
（3）如果不计不相交的循环置换的排列顺序，置换可以写成不相交的循环置换的乘积的表达式是唯一的。
(4) 置换的阶数等于它写成两个不相交的循环置换的乘积后所有循环置换因子长度的最小公倍数。
（5）设?为任意置换，那么?(i1i2?is)??(i1i2?is)(练习). 4 置换的奇偶性
对换：长度为2的循环叫对换。
定理 任意置换可以写成若干对换的乘积，且一个置换写成对换乘积时对换出现的次数的奇偶性由置换本身唯一确定。
注：一个置换写成对换乘积时，表示方式不唯一，对换出现的次数也不唯一，但是对换出现的次数的奇偶性是唯一的。
奇（偶）置换：一个置换写成对换乘积时，如果对换出现的次数是奇数（偶数），那么原置换叫奇（偶）置换。
定理 Sn中全体偶置换构成Sn的一个指数为2的正规子群An，叫n次交错群（交代群） 练习
1 证明 设?为任意置换，那么
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?1???