（1）????,?1G??；
（2）????,g,h?G,?gh???g?.
h等价定义 设G为群，我们称G到对称群S?的的同态?:G?S?为群G在集合?上的作用. ?:G?S?的同态核称为作用核.
注：（1）?g?G,???，??(g)是?中的确定元素。习惯上，记??(g)为?g. 这时，等价定义中的同态?:G?S?可以理解为定义中的条件（1），（2）：
（2） 如果作用核为G本身，则称G在集合?上平凡作用；如果作用核为1，即同态?:G?S?是单同态，则称G在集合?上忠实作用. 特别地，如果G是集合
?上的置换群，那么G在集合?上忠实作用.
定理 设G作用到集合?上，作用核为K，那么K?G，G/K同构于对称群S?的一个子群.
3 作用的例子和应用
例1 群G的右正则表示-----Cayley定理
Cayley定理 任意一个（有限）群都同构于一个（置换群）变换群。
证明 任意取定g?G，规定R(g):x?xg,?x?G，则R(g)是集合G上的可逆变换，R(1)?1G，且?g,h,x?G，xR(g)R(h)?xgh?xR(gh)，即R(g)R(h)?R(gh). 因此群G通过右乘作用在集合G上.显然作用核为1，所以G?R(G)，其中，
R(G)?{R(g)|g?G}?SG.
注 （1）如果定义L(g):x?g?1x,?x?G，那么L(g)L(h)?L(gh). 因此群G也通过左乘作用在集合G上，类似有G?L(G).
（2）L(G),R(G)分别称为群G的左，右正则表示。
思考题：如何在6次对称群S6中找出一个6阶正则子群同构于S3？ 例 设n是奇数，证明任意2n阶群都包含一个指数为2的正规子群.
证明 首先，因阶数大于2的元素成对出现，所以2n阶群G包含一个2阶元a.
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其次，考虑2n阶群G的右正则表示.R(a)必定是n个对换的乘积，所以R(a)是奇置换. 因此，全体偶置换构成R(G)指数为2的正规子群. 最后，根据Cayley定理，G也有指数为2的正规子群.
注：一般地，如果G的Sylow 2-子群循环，|G|=2rm，m是奇数，那么有m阶正规子群.
例2 （传递置换表示）设H?G，??{Hg|g?G}，规定右乘作用如下：
RH(g):Hx?Hxg,?Hx??，那么G通过右乘传递地作用在集合?上，作用核为
HG??Hg，因此有G/HG同构于S?的传递子群。
g?G思考题：如何规定G通过左乘传递地作用在左陪集集合?上？
例3 设H?G，??{Hg|g?G}，规定右乘作用RH(g):Hx?Hxg,?Hx??，那么H也通过右乘作用在集合?上，但是作用未必传递。Hx??在H下的轨道为
HxH?{Hxg|g?H}，称为G关于子群H,H的一个双陪集。
例4 设H,K?G，??{Hg|g?G}，规定右乘作用RH(g):Hx?Hxg,?Hx??，那么K也通过右乘作用在集合?上，但是作用未必传递。Hx??在K下的轨道为HxK?{Hxg|g?K}，称为G关于子群H,K的一个双陪集。
例5 G通过共轭作用在集合G上，作用核为中心Z(G)?{g?G|?x?G,xg?gx}.记Inn(g):x?g?1xg,?x?G，那么G???Inn(g)|g?G??AutG，称为G的内自同构群，记为InnG.
定理 InnG?AutG，G/Z(G)?InnG. 4 轨道、稳定子群
定义 设G作用在集合?上，???，规定关系:????存在x?G使得???x. 那么这是?上的等价关系，???所在的等价类?G?{?g|g?G}就是???在G作用下的轨道. G中固定???全体元素组成G的子群，称为???在G中的稳定子群，记G?.
如果G作用在集合?上只有一个轨道，则称G传递地作用在?上.
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命题 设G作用在集合?上，那么????,g?G,成立(G?)g?G?g. 特别地，如果G传递地作用在?上，那么任意两个稳定子群都在G中共轭.
定理 设G作用在集合?上，???，那么|?G|?|G:G?|. 特别地，如果G传递地作用在集合?上，???，那么|?|?|G:G?|.
命题 （Frattini论断）设G传递地作用在集合?上，H?G，???，如果H在?上传递，那么G?G?H.
命题1 G通过共轭作用在集合G上，x?G在G下的轨道为xG?{g?1xg|g?G}，称为x?G所在的共轭类，x?G在G中的稳定子群就是x?G在G中的中心化子
CG(x)，那么x?G所在的共轭类长度 |xG|?|G:CG(x)|.
命题2 群G通过共轭作用在G的全体子群的集合上.设H?G，那么H在G下的轨道为{Hg|g?G}，称为H所在的共轭类，H在G中的稳定子群就是H在G中的正规化子NG(H). 因此，H所在的共轭类长度 |G:NG(H)|. 例 计算An,Sn中元素的共轭类，n?3,4,5. 5 类方程
G通过共轭作用在集合G上.显然，x?Z(G)当且仅当它在G下的轨道只包含一个点.所以得到有限群的类方程
|G|?|Z(G)|?x?Z(G)?|G:CG(x)|
定义 有限群G称为p-群，如果它的阶数是p的方幂. 命题 如果有限p-群G?1，那么Z(G)?1. 推论 任意p2阶群G都是交换群.
％例 阶数小于6的群都是交换群，即非交换群的最小阶数是6.
％证明 素数阶群都是循环群，当然是交换群；由推论，4阶群都是交换群. 例 计算交错群A5所有元素的共轭类长度，进而证明它是单群。
解 对合a?(12)(34)的中心化子就是它在子群A4中的中心化子，阶数是4，所以
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a?(12)(34)所在的共轭类长度为15. 因此15个对合只有一个共轭类.
3阶元b?(123)的中心化子就是自身生成的循环群，所以b?(123)所在的共轭类长度为20. 因此20个3阶元只有一个共轭类.
5阶元c?(12345)的中心化子就是自身生成的循环群，所以c?(12345)所在的共轭类长度为12. 因此24个5阶元有两个共轭类. 这两个共轭类代表分别是c和c2. 由于群的正规子群是若干共轭类的并，正规子群的阶数只能是若干上述包含1的共轭类长度之和. 又由Lagrange定理，子群的阶数整除60，所以正规子群只有1和自身. 6 N/C定理
定理 设H?G，那么CG(H)?NG(H)，并且NG(H)/CG(H)同构于AutH的一个子群.
证明 令g?NG(H)，Inn(g):x?g?1xg,?x?H，那么Inn(g)?AutH. 容易看出，
映射Inn:g?Inn(g)是NG(H)到AutH的同态，同态核为CG(H). 根据同态基本定理知结论成立.
例 （1）设N?G，并且|N|是|G|的最小素因子，那么N?Z(G). （2）设N?G，并且|N|=2，那么N?Z(G).
7 传递置换表示
命题 （1）设H?G，|G:H|?n，那么G包含一个正规子群N使得|G/N|整除n!. （2） 设H?G，|G:H|?n是|G|的最小素因子，那么H?G. 推论 设有限群G称为p-群，H?G，|G:H|?p，那么H?G. 例 设H?G，|G:H|?2，那么H?G.
考虑：如果H?G，|G:H|?3，那么能否得出H?G？ 8作用的等价
定义 设G分别作用在集合?1和?2上，如果存在?1到?2上的双射?使得
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????1,??g??g?，则称G在集合?1和?2上的作用等价.
注：（1）条件??g??g?指：??g??g?2?1?.
（2）如果G在集合?1和?2上的作用等价，那么G??G??.
?gg?G???G?. 事实上，如果g?G?，那么根据???得g?G??. 所以G??G??. 同理，
故G??G??.
命题 设G传递地作用在集合?上，那么该作用等价于G在G?在G中共轭类集合{g?1G?g|g?G}上的共轭作用，也等价于G在右陪集空间G/G?上的右乘作用. 9多重传递作用与作用的本原性
定义 设G传递地作用在集合?上，如果对任意两个有序子集(?1,?,?k)和
(?1,?,?k)，都存在g?G使得?ig??i,i?1,?,k，则称G在集合?上k-传递.
定义 设G作用在集合?上，??{?1,?2,?,?s}是集合?的划分. 如果
?g?G,?i??，有?ig??，则称划分??{?1,?2,?,?s}被G稳定.
显然，划分{?}和{{g}|g?G}都被G稳定. 如果被G稳定的划分仅有这两个划分，则称G本原地作用在集合?上.
注：（1）本原作用必定是传递作用. 事实上，G的全体轨道所组成的划分被G稳定. 如果G在集合?上作用不传递，那么G非本原.
（2）如果G本原地作用在有限集合?上，??{?1,?2,?,?s}是集合?的划分，那么诸?i的阶数都相等，并且G传递地作用在集合??{?1,?2,?,?s}上.进而
?i整除?.
事实上，根据本原性，?g?G,?i??，有?ig??，所以G传递地作用在集合
??{?1,?2,?,?s}上. 再由?ig与?i阶数相同得证.
（3）设G传递地作用在集合?上，?是素数，那么G本原作用.
定理 设G传递地作用在集合?上，???，??1，那么G本原当且仅当G?是
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