§8同态
1 群同态：
设G, H为群，如果映射?:G?H满足：?g1,g2?G,?g1g2??g1g2，则称?:G?H???为群同态。
满射同态；单射同态； 同构：双射，同态.
同态核：单位元的完全原象Ker??{g?G|g?1}叫?:G?H的同态核. 例 设?:G?H为群同态，则Im??G?H.
例 设?:G?H为群同态，则（1）?是满射同态当且仅当Im??G?H； （2）?是单射同态当且仅当Ker??1；
（3）?是同构当且仅当Ker??1,Im??G?H.
命题 设N?G，则?:x?xN为G到G/N上的满同态，称为自然同态. 换言之，任意商群都是一个同态象。
例 （1）任意循环群都同构于Zn或Z. （2）循环群的同态像（商群）也是循环群.
????2群同态基本定理
定理 设?:G?H为群同态，则Ker??G，且G/Ker为满同态，则G/Ker??H.
注 根据同态基本定理，任意同态象都同构于一个商群。 证明 （1）Ker??G （2）Ker??G
（3）记K?Ker?，证明?:Kg?g就是G/K到Im?上的同构。
?如果?:G?H??mI?. 特别地，
3 元素、子群、正规子群在同态对应下的对应关系
定理 设?:G?H为满同态，那么
16
（1）?:G?H把单位元变到单位元，逆元的象等于象的逆. （2）（正规）子群的象是（正规）子群. （3）（正规）子群的原象是（正规）子群.
思考题：(1) 满同态是否保持元素的阶数不变？考虑G到1上的平凡满同态
（2）注意满射的条件具体用到何处，即哪个结论必须要求满同态？哪个结论不要求满同态？ 证明 （1）直接验证。 （2）若K?H，则K??1?G；若K?H，则K??G.
?1（3）若K?G，则K??H；若K?G，则K??H. 定理 设N?G，那么
（1）存在G/N的全体子群集合到G中包含N的子群集合的1-1对应，且该对应保持子群的包含关系.
（2）存在G/N的全体正规子群集合到G中包含N的正规子群集合的1-1对应，且该对应保持正规子群的包含关系.
例 如果n?5，Sn的全部正规子群是1，An，和Sn. （提示：An是单群）
4 关于换位子群的进一步刻画
命题 设群G的换位子群为G'，那么 （1）G/G'是交换群.
（2）若N?G，G/N是交换群，则G'?N. （3）若G'?H?G，则H?G.
例1设G/Z(G)是循环群，那么G是交换群.
例2设G?D8或Q8，那么G是非交换群，并且G'?Z(G)为2阶子群. 例3任意p阶群G都是交换群. 例4非交换群的最小阶数是6.
2§9同构定理
1 第一同构定理
定理 设H?K?G，H?G，则G/K??G/H?/?K/H?.
17
证明 法1首先，H?K?G表明K/H?G/H，因此有自然同态的合成：
?:x?Hx?(Hx)K/H为G到?G/H?/?K/H?的满同态。同态核ker??K. 根据同
态基本定理，G/K??G/H?/?K/H?.
法2 映射?:Hx?Kx为G/H到G/K的映射、满同态，同态核ker??K/H. 根据同态基本定理，G/K??G/H?/?K/H?.
2第二同构定理
定理 设H?G,K?G，则HK/K?H/?K?H?. 证明 首先K?H?H. 这是因为[K?H,H]?K?H.
法1 直接验证映射?:Kx?(K?H)x,x?H，为HK/K到H/?K?H?的映射、同构。 法2 映射?:kh?(K?H)h,h?H,k?K为HK到H/?K?H?的映射、满同态，同态核Ker??K. 根据同态基本定理，HK/K?H/?K?H?.
法3 映射?:h?Kh,h?H为H到HK/K的映射、满同态，同态核Ker??H?K. 根据同态基本定理，HK/K?H/?K?H?.
§10自同构
1 自同构
群G到自身的同构叫G的自同构。
内自同构：?g?G，映射Inn(g):x?gxg?x,x?G定义了G的自同构，称为G的内自同构。不是内自同构的自同构叫外自同构。
命题 （1）群G的全体自同构按映射的合成构成集合G上对称群SG的子群，叫G的自同构群，记AutG.
（2）群G的全体内自同构按映射的合成构成AutG的正规子群，叫G的内自同构群，记
?1gInnG. 称AutG/InnG为G的外自同构群，记OutG。
（3）G/Z(G)?InnG 证明 （1）直接验证。
18
（2）?x,y?G,Inn(x)Inn(y)?Inn(xy)，(Inn(x))?1?Inn(x?1).
?g?G,??AutG,??1Inn(g)??Inn(g?).
（3）映射Inn:g?Inn(g)是G到的Inn G满同态，同态核Ker Inn=Z(G). 由同态基本定理，G/Z(G)?InnG.
定理 当n?3,n?6时，AutSn?AutAn?Sn；AutS6?AutA6?S6.2 例 证明AutS3?S3.
证明 任意??AutS3都导出S3中3个对合集合⊿={a=(1,2), b=(1,3), c=(2,3)}上的置换，于是得到AutS3到S?的同态。因为S3由集合⊿生成，所以同态核为1. 因此，|AutS3|?6. 另一方面，Z(S3)?1，所以Inn(S3)?S3. 故AutS3?Inn(S3)?S3. 例 设G为群，?:x?x，证明??AutG当且仅当G为交换群. 例 设??AutG在G上无固定点作用，则（1）?:x?xx为单射； （2）又若G为有限群且o(?)=2，那么G为交换群.
证明 （1）xx?yy当且仅当(xy)?xy，当且仅当xy为单射.
（2）又若G为有限群且o(?)=2，那么由（1）知G?{xx|x?G}，且
?1??1??1??1??1?1??1?1?1，所以?:x?x?1x??x?1x???(x?)?1x??x?1x??. 因此，x?x?1是G的自同构，G为交换群.
?1?例 设G为有限群，??AutG，I??{g?G|g?g}.
??13|G|，证明G为交换群. 43（2）若I??|G|，证明G有指数为2的交换子群.
4（1）若I??证明 （１）首先，任意取定a?I?，有aI??I??aI??I??aI??I??其次，设a,x?I?使ax?I?，则?ax???ax???11|G|． 2?x?1a?1?x?a??(xa)?，从而ax?xa．所
以aI??I?中任意元素ax与a?I?可换，所以aI??I??CG(a)，从而
19
|CG(a)|?aI??I??1|G|. 故CG(a)?G，即a?Z(G). 2由于a?I?的任意性，所以I??Z(G)，进而G?Z(G). （2）设a?I?，类似证明aI??I??aI??I??aI??I??故CG(a)?G或者aI??I??CG(a).
如果对任意a?I?都有CG(a)?G，那么I??Z(G)，进而G?Z(G). 如果存在a?I?使得aI??I??CG(a)，那么aI??I?是G的子群. 下证aI??I??CG(a)是交换群.
设x,u?aI??I?，则(xu)?xu?xu，(xu)?(xu)因此. aI??I??CG(a) G的指数为2的交换子群. 例 二面体群D2n的自同构群.
????1?11|G|，aI??I??CG(a). 2??1?u?1x?1，所以x,u可换，
§11群在集合上的作用
1 置换群的概念
对称群S?：集合?上的全体一一变换的集合按变换的乘法所构成的群叫?上的对称群。
对称群S?的任意一个子群G叫集合?上的置换群。 置换群G的次数（degree）: G中元素实际变动的字母个数。 恒等变换1G：x → x是置换群G的单位元，.
传递群：设G为集合?上的置换群，且??,???，存在g?G，使得???g，则称G为集合?上的传递置换群.
正则群：G为集合?上的传递置换群，且|G|=|?|，则称G为集合?上的正则置换群.
2群在集合上的作用
定义 设G为群，?为集合，我们称G作用到集合?上，如果存在映射?×G到?的映射：(?,g)??g满足：
20