余类环Zp, p为素数. 这时，称0或p为R的特征.
7 分式环
问题：（1）除环的子环是无零因子环. 问是否任意无零因子环都是某个除环的子环？（No. A. Malcev）
（2）域的子环是整环. 问是否任意整环都是某个域的子环？(Yes) 思路：整数环得到有理数域的方法.
设D是整环，D*表示D非零元的集合. 在集合D×D*上定义关系：
(a, b)～(c, d) 当且仅当ad = bc.
那么它是D×D*上等价关系. 把(a, b)所在的等价类记为a/b，那么
a/b = c/d当且仅当ad = bc.
用F表示D×D*关于等价关系～的商集{a/b}，在F上定义运算：
a/b + c/d = (ad + bc) / (bd), (a/b)(c/d) = (ac) / (bd)
那么定义是合理的，F关于上述加法、乘法构成一个交换环，零元0=0/1, 单位元1=1/1，并且对于任意非零元a/b，有a在D*中，从而
(a/b)(b/a) = (ab) / (ab)=1
于是F关于上述加法、乘法构成一个域，叫整环D的分式域.
定理1 任意一个整环可以嵌入到一个域中. 定理2设D是整环，那么D到一个域F’ 的任意单同态都可以唯一地扩张为D的分式域F到F’ 的单同态. 思考题：域F的分式域是什么？
8交换环上的多项式环
设R是交换环R’ 的子环. 把R添加R’ 的子集U得到R’ 的子环记做R [U]. 特别，当U?{u1,?,un}时，写作R[u1,?,un].
下面讨论R[u].
n?n?i令R[u]???aiu|ai?R,n?0?，称?aiui为一个多项式. 我们可以按通常定
?i?0?i?0义多项式的加法、乘法，并且R[u]是R’ 的子环.
问题：R[u]中不同的表达式是否可以表示同一个元数？ 例如 在Z[2]，有2?(2)2两个表达式. 下面讨论一元多形式环R[x]的存在性..
R[x]?{(a0,a1,?,an,?)|ai?R,只有有限个非零}
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规定：(a0,a1,?,an,?)?(b0,b1,?,bn,?)?(a0?b0,a1?b1,?,an?bn,?)，
(a0,a1,?,an,?)(b0,b1,?,bn,?)?(a0b0,a1b0?a0b1,?,anb0???a0bn,?)
那么R[x]是一个交换环，并且a0?(a0,a1,?,an,?)是单同态.
令x?(0,1,?,0,?)，那么(a0,a1,?,an,0,?)?a0?a1x???anxn. 这样，
a0?a1x???anxn?0当且仅当a0?a1???an?0.
我们称x为R上的未定元，称R[x]为R上的一元多形式环.
定义多项式的次数，并且规定0多项式的次数为??.
定理1 设R是整环，那么R[x]是一个交换整环. 一般地， R[x1,?,xn]也是整环，并且R[x1,?,xn]中单位就是R中单位.
定理2 设R是域，那么R[x]是一个交换主理想整环.
命题（带余除法定理）设R是交换环，f(x),g(x)?R[x],g(x)?bmxm???b0,bm?0. 那么存在k?N和q(x),r(x)?R[x]使得bmkf(x)?q(x)g(x)?r(x)，?r(x)??g(x). 注：（1）如果bm是单位，R是整环，那么存在唯一q(x),r(x?)R[x使]得
f(x)?q(x)g(x?)r(，x)?r(x)??g(x).
（2）如果R是域，那么存在唯一q(x),r(x)?R[x]使得f(x)?q(x)g(x)?r(x)，
?r(x)??g(x)
推论（余数定理）设R是整环，f(x)?R[x],a?R. 那么存在唯一q(x)?R[x]使得f(x)?q(x)(x?a)?f(a).
定理3 设R是域，那么R[x]中的n次多项式至多有n个根. 定理4 一个域F的乘法群的任意有限子群都是循环群.
证明 首先域F的乘法群是交换群. 设G?F*，m?|G|. 那么G中任意元素满足xm?1. 那么s?exp(G)?m. 由定理3，xs?1在域F中根的个数不超过s. 所以m?s. 因此m?s?exp(G)，即G是循环群.
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模-----环上的线性空间
1定义：设R是环，M是一个交换群（运算用加法表示）. 如果存映射（数乘）：
R?M?M(r,m)?rm
使得：（1）1m = m; (2) (rs)m = r(sm); (3) (r+s)m = rm + sm; (4) r(m+n)=rm+rn. 则称M是一个左R模.
例1域F上的向量空间是F-模.； 例 2任意交换群G都是一个Z-模；
例3环R的任意一个左理想M都是一个左R模（数乘就是普通的乘法）. 特别，环R是一个R模.
例 4 设T是有限维线性空间V/F上的线性变换，那么V可以做成F[x]-模. 数乘运算：(f(x),v)?f(T)v.
2 子模
定义 设M是左R-模，N是M的非空子集. 如果N关于模M的加法、数乘仍然作成左R-模，则称N是M的子模. M的子模当且仅当
命题 M的非空子集N作成M的子模当且仅当N关于减法、数乘封闭. 例 {0}和M都是M的子模
例 任意交换群G都是一个Z-模，子模就是子群. 例 环R是一个左R模，子模就是左理想.
例 设T是有限维线性空间V/F上的线性变换，那么V可以做成F[x]-模，子模就是T-不变子空间. 例 若M是左R-模.
（1）x?M，则x?Rx是M的子模，称为由x生成的循环子模.
（2）S?M，则S?{?rxS}是M的子模，称为由S生成的子模. ii|ri?R,xi?finite3 R-同态 商模 同构定理
定义 设M，N 都是左R-模.，映射f:M?N叫R-同态，如果 （1）f(x?y)?f(x)?f(y)；（2）f(rx)?rf(x). 同态核Kerf?{m?M|f(m)?0}是M 的子模.
定义 设M是左R-模.，N是M的子模. 商群M/N叫商模，如果定义数乘运算
r(N?x)?N?rx.
同态核Kerf?{m?M|f(m)?0}是M 的子模. 类似定义 R-同构.
定理（第一同构定理） 设f:M?N是R-同态，那么映射Kerf?x?f(x)给出
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R-同构M/Kerf;f(M)?N.
定理（第二同构定理）设M，N 都是左R-子模，那么(M?N)/M;N/(MIN)
域
1素域：设F是域，那么它包含的最小子域为GF（p）或Q，叫F的素域. 称它们的特征为p或0. 2 域的扩张 扩张次数
定理 设F?E?K，则|K:F|?|K:E||E:F|
3 单扩域 单代数扩张与最小多项式 单超越扩张 例 Q(2,3)?Q(2?3)
证明Q(2,3)?Q(2?3)；Q(2,3):Q?Q(2?3):Q?4 4 有限域
定理（1）设F为q元域，则q?pr，p为素数，且在同构意义下只有一个q元域（多项式xq?x的分裂域），记为GF(q)或GF(pr)，特征charF?p.
（2）GF(q)的乘法群为q?1阶循环群（生成元叫GF(q)的本原元），加法群是初等交换群.
（3）GF(pr)的自同构群为r阶循环群，生成元为x?xp，称为Frobenius自同构.
（4）对r的每个因子s，GF(pr)有唯一的子域GF(ps)，并且GF(pr)只有这样的子域.
代数
1定义：域上的代数是具有加法、乘法、数乘三种运算。关于加法、乘法构成环；关于加法、数乘构成线性空间；乘法、数乘两种运算可以交换次序. 2 群代数
F[G]?{?aixi|ai?F,xi?G}F(ps)
i3 矩阵代数
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