（1）?(i1i2?is)??(i1i2?is)； （2）(i1i2?is)?1?1????(i1is?i2)
2 计算 （1）(123)(234)(345)(456) （2）(245)(67)(1234567)(254)(67)
§6正规子群
1 定义 设N?G，如果?g?G,gN?Ng，则称N是G的正规子群，记N?G. 定理 设N?G，那么下列命题等价： （1）N?G
（2）?g?G,gNg?N （3）?g?G,gNg?N （4）?g?G,x?N,gxg?N
?1?1?1?g?G,gHg写作Hg，注 习惯上，设H?G，称为H通过g的共轭；?g,x?G,gxg写作x，称为x通过g的共轭.
命题 共轭关系是群G上的等价关系，x所在的等价类{gxg|g?G}叫x所在的共轭类. 例 B4?A4；B4?S4
例 （1）Sn中两个置换共轭的充要条件是它们是同型的（即分解成不相交循环置换后具有相同的形状）
（2）写出S4、S5中各个元素的共轭类中的元素. 2 换位子群：
设G为群，G'是由G中全体形如[a,b]?abab的元素（叫换位子）所生成的子群，称为G的换位子群（导群）。类似地，对G的子群H, K, 也可以去定义H, K的换位子群
?1?1?1?1?1g[H,K]?[a,b]?a?1b?1ab|a?H,b?K.
?1?1?1?1?1注：因为[a,b]??abab??baba?[b,a]，所以G'是由所有可能的换有限个位子
?1 11
的乘积所构成的子群
命题（1）G为交换群当且仅当G'?1；G的子群H, K的元素可换当且仅当[H,K]?1. （2）G'?G.
注意G的子群H, K的元素可换表明HK?KH，但是HK?KH未必有[H,K]?1. 例如
S3中的2、3阶子群元素不可换，但G?HK?KH.
例 S3'?A3.
命题 （1设H?G，那么H?G当且仅当[H,G]?H；
（2）如果H?G,K?G，那么[H,K]?H?K. 特别，如果H?K?1，那么[H,K]?1，即H, K的元素可换.
（3）如果H?G,K?G，那么HK?G,H?K?G. 例 交换群的任意子群都是正规子群，反之不然。
思考题：任意子群都是正规子群的有限群是否必定是交换群？考虑四元数群。 命题 归纳定义G(1)?G',G(k)?[G(k?1),G(k?1)]. 如果存在k使得G(k)?1，则称G可解.
3 正规闭包、核、正规化子
（3.1）设G为有限群，??X?G，X在G中的正规闭包XG定义为由G中全体形如
g?1xg,g?G,x?X的元素所生成的子群，它是G中包含X的最小正规子群。
（3.2）设G为有限群，H?G, X在G中的核(core) 定义为全体形如gHg,g?G,的子群的交，它是G包含在H中的最小正规子群。
（3.3）设G为有限群，H?G, 令NG(H)?{g?G|H?H}叫正规化子，那么 （A）H?NG(H)?G；
（B）H?G当且仅当NG(H)?G；
（C）设K?G，那么K?NG(H)当且仅当[H,K]?H. 例 证明设G为有限群，H?G,那么CG(H)?NG(H).
g?1 12
4 单群
显然，G和1总是G的正规子群.
定义 如果有限群G的正规子群只有G和1，则称G为单群. 命题 有限交换群G是单群的充要条件是G为素数阶循环群. 命题 （1）Sn'?An.
（2）如果n?5，那么An是单群. 证明
（1）因为(ab)(ac)?(abc)，(ab)(cd)?(abc)(cad)，所以An由全体3-循环生成；注意
[(ab),(ac)]?(acb)知Sn'包含全体3-循环，所以Sn'包含An. 最后，由于两个偶置换的乘
积是偶置换，一个偶置换的逆是偶置换，所以根据换位子群的定义知Sn'?An.
（2.1）An由3-循环集合{(abc)|c?{1,?,n}\\{a,b}}生成，其中. a,b是固定的两个点. 任意3-循环形如下列之一：(ars),(brs),(abr),(bar),(rst)，其中a,b,r,s,t互异. 由于
(abr)2?(bar)，(ars)?(abr)2(abs)，(brs)?(abr)(abs)2， (rst)?(abr)(abs)2(abt)(abr)2，
所以An由3-循环集合{(abc)|c?{1,?,n}\\{a,b}}生成.
（2.2）如果n?3，N?An，且N包含一个3-循环，那么N?An.
事实上，不妨设(123)?N. 那么(12k)?(12)(3k)(123)(3k)(12)?N. 由（2.1）得证. 下面分情况讨论：
（2.3.1）如果N包含一个3-循环，由（2.2）得证.
（2.3.2）如果N包含一个置换?的不交的循环分式中包含一个长度r?4循环，设
2??(a1?ar)?，其中?固定a1,?,ar. 令??(a1a2a3)?An，根据N?An知
[?,?]???1???(a1a4a2)?N，由（2.1）得证..
（2.3.3）如果N包含一个置换?的不交的循环分式中包含至少两个3循环，设
??(a1a2a3)(a4a5a6)?，其中?固定a1,a2,a3,a4,a5,a6.
13
令??(a1a2a4)?An，根据N?An知[?,?]????1??(a1a4a5)?N，由（2.1）得证..
（2.3.4）如果N包含一个置换?的不交的循环分式中为一个3循环与若干对换的乘积，设
??(a1a2a3)?，其中?固定a1,a2,a3且为若干对换的乘积. 那么?2?(a1a3a2)?N，再由
（2.1）得证.
（2.3.5）如果N包含一个置换?的不交的循环分式中为偶数个对换的乘积，设
??(a1a2)(a3a4)?，其中?固定a1,a2,a3,a4且为若干对换的乘积.
那么令??(a1a2a3)?An，根据N?An知??[?,?]???因为n?5，所以存在b?{1,?,n}\\{a1,a2,a3,a4}.
令??(a1a3b)?An，那么[?,?]????(a1ba3)?N. 再由（2.1）得证.. 例 二面体群D2n?a,b|a?b?1,a?a（1）a的子群； （2）D2n
（3）如果n是偶数，两个n阶二面体群a,b和a,ab. 例 如果n是偶数, 二面体群D2n?a,b|a?b?1,a?a数, 二面体群D2n?a,b|a?b?1,a?a 练习
1分别找出群S3,S4的所有子群和陪集，找出全部正规子群。 2设N?G，|G:N|?2，证明N?G.
3 举例说明正规子群的正规子群未必是正规子群。（考虑二面体群D8.） 4 证明：如果H?G,K?G，那么HK?G，H?K?K.
5 设K?H?G,N?G，如果KN?HN,K?N?H?N，那么K?H. 6 证明：（1）An?Sn
n2b?1n2b?1n2b?1?1??(a1a3)(a2a4)?N.
?1?的全部正规子群如下：
22的中心是an2；如果n是奇
的中心是1.
14
（2）Sn的非平凡正规子群只有An.
法1如果n?3，那么Sn'?An，从而An?Sn 法2 由于|Sn:An|?2，所以An?Sn. 7 证明：（1）群G的中心是G的正规子群； （2）如果n?3，那么Sn的中心是1.
8 计算A5中元素的共轭类，并由此证明A5是单群.
§7商群
定义 设N?G，G?{Ng|g?G}是N所决定的等价类集合。规定G中的运算如下：
?x,y?G,Nx?Ny?Nxy，那么G对上述运算做成群：
（1）定义的合理性，即与代表元选择无关（用到正规性！！！）； （2）结合律； （3）单位元N；
（4）任意Nx都有逆元?Nx??1?Nx?1.
称G为G关于N的商群，记G?G/N.
例 模n剩余类加群Zn?Z/(n)就是Z关于(n)的商群。
例 S4关于A4的商群是2阶群，A4关于B4的商群是3阶群，这些商群都是素数阶循环群。 例 S4关于B4的商群是6阶非交换群S3.
例 （1）设G为有限群，H?G,N?G，若|H|与|G/N|互素，那么H?N. （2）设G为有限群，H?G,N?G，若|N|与|G:H|互素，那么N?H.
证明 （1）由H/H?N?HN/N知，H/H?N?HN/N整除|H|与|G/N|. 又|N|与|G:H|互素，所以H/H?N?HN/N?1，即H?N. （2）类似，N:H?N?HN:H?1，即N?H.
15