第一步，集体研究100÷20这道除法题。100乘或除以一个数、20乘或除以一个数都很容易口算，而且100与20的公因数比较多，所以100÷20的被除数和除数乘或除以一个不是0的数，能够演变出许多道除法算式，这对发现商不变规律是十分有利的。教材在表格里列出了被除数和除数同时乘2、乘4、除以2、除以4等变化，已经写出或者让学生写出相应的除法算式，通过求出各道除法算式的商，清楚地显示出100÷20的被除数、除数同时乘或同时除以一个数，商保持不变。学生通过计算与填表，首次感知商不变规律。
第二步，自己找一些例子算一算、比一比，看商有没有变化，继续感知商不变规律。商不变规律是众多除法的共同规律，让学生进行广泛的实例研究，在相互交流中共享学习资源，从而体验商不变规律是除法中的普遍现象。教材的这个安排，也在培养科学的研究态度与严谨的学习习惯。应指导学生选择没有余数的除法，先求出商，再把被除数和除数同时乘或除以一个数，得到新的除法算式并求出商，然后比较算式变化前后的商，看有没有变化。
第三步，在100÷20以及自己列举的除法算式等具体素材中，提炼出商不变规律。可以先归纳出被除数和除数同时乘一个数，商不变；再归纳出被除数和除数同时除以一个数，商不变；然后合并成被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。像这样由部分到整体的认知线索，是人们发现和总结规律的一般步骤，也符合儿童的年龄特征和智力发展水平。
第四步，再认同时乘或除以的那个数不能是0。我们已经知道，除数不能是0，因此被除数和除数不能同时除以0。如果被除数和除数同时乘0，除法算式则变成0÷0，这也是不可以的。所以，讲述商不变规律应该明确指出“0除外”。
“练一练”利用30÷6=5，让学生经历被除数和除数同时乘3、乘10、除以2、除以3，而商不变的过程，再一次体验商不变规律。练习五第5题在购买计算器的问题情境里，联系计算器的总价与数量发生相同的变化（乘或除以同一个数），单价保持不变的事实，又一次说明商不变规律的合理性和客观性。
2. 应用商不变规律，使一些除法计算简便。
有些除法，被除数和除数都是整十数、整百数或整千数，应用商不变规律能够转化成除数是一位数或两位数的除法。这种转化，能使口算与笔算简便些。正如例8第（1）小题里的900÷50可以转化成90÷5，第（2）小题900÷40可以转化成90÷4。
教学900÷50的计算，教材示范了竖式上应用商不变规律简化计算的方法与书写格式：根据除数末尾有一个“0”，在除数和被除数末尾各划去一个“0”。还通过“番茄”卡通的质疑“被除数的末尾为什么只划去一个0”，帮助学生理解这里是如何应用商不变规律的。体会如果被除数末尾划去两个0，除数末尾只划去一个0，那么被除数和除数就不是同时除以一个相同的数，商将发生变化。
教学900÷40的计算，重点放在被除数和除数同时除以一个相同的数，虽然商不变，余数却变了。这也是教学的难点。教材把这个知识点置于900元钱买单价40元的队号的实际问题里，通过可以买22把，还剩20元这个现实的答案，体会余数应该是20，不是2（40×22+20等于900，40×22+2不等于900）。另外，如果不应用商不变规律，直
11
接计算900÷40得到的余数是20，也能说明被除数和除数同时除以10，商虽然不变，但余数变了。
（五） 结合除法计算的教学，解决实际问题
本单元练习里编排了许多实际问题，有些是一步计算的问题，有些是两步计算的问题，但都与除法有关。有些题学生能够独立解答，有些题编排例题教学解法。
1. 解答一步计算的问题，要有意识积累数量关系的知识。
解答一步计算的问题，学生会很快列出算式并进行计算。编排这些一步计算的问题，其目的不仅在于练习除法计算，还可以体会相应的数量关系。比如，练习二第8题，玫瑰花的总枝数÷每束的枝数=束数??剩下的枝数；第14题，水果的总箱数÷每次运的箱数=运的次数。理解和掌握常见数量关系，需要平时经常关注和积累。对数量关系有了丰富的体验，解决实际问题的能力自然就强。因此，教学一步计算的实际问题，一方面要注意学生的计算是不是正确，另一方面要让他们说说具体的数量关系。
值得注意的是练习二第15题，第一次解答已知长方形的面积和长的数量，求宽是多少的实际问题，教材希望学生按自己的想法求出长方形的宽，并联系乘、除法的关系，逐步形成有结构的数量关系式：长×宽=长方形面积，长方形面积÷长=宽，长方形面积÷宽=长。
2. 解答两步计算的实际问题，要加强解题思路的练习。
第一学段已经教学了许多两步计算的实际问题，并且以培养解决问题的策略和发展数学思考为目的，教学了从条件向问题的推理和从问题向条件的推理。本单元的练习里，编排了一些学生比较熟悉的两步计算实际问题，经常温习分析数量关系的方法，强化解题思路。学生解答这些实际问题，一般不会有困难。应该尽量让他们独立解题，并组织他们交流解题的思考。比如，练习二第14题，根据已知的300箱苹果和260箱梨，可以算出一共有多少箱水果；要求一辆汽车几次运完这些水果，需要知道一共有多少箱水果和每次能运走几箱水果。又如，练习三第6题，已知水泥厂14天生产水泥154吨，可以算出平均每天生产水泥多少吨；求生产198吨、264吨、396吨水泥各需要多少天，应该知道每天能生产水泥多少吨。
3. 教学连除计算的实际问题，进一步加强从条件向问题推理的思路。
连除问题里一般有三个已知条件，它们两两相关。比如例4，“一共224本书”“放在2个书架上”“每个书架有4层”。根据“一共224本书”和“放在2个书架上”，可以算出平均每个书架放112本；根据“2个书架”和“每个书架有4层”，可以算出一共有8层；根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，可以算出2个上层（或2个中层、2个下层）放56本。正是这些交叉联系使连除计算的问题有多种解法，也正是这些交叉联系的相互干扰，使解题思路变得复杂、困难。
人们解决连除实际问题，一般采用从条件向问题的推理。比如，先根据“一共224本书”和“放在2个书架上”，算出平均每个书架放112本书；再联系“每个书架有4层”，算出平均每个书架每层放28本书。或者，先根据“2个书架”和“每个书架有4层”，算出一共有8层；再联系“一共224本书”，算出平均每个书架每层放28本书。当然还可以根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，先算出2个上层（或2个中
12
层、2个下层）放56本书；再联系“2个书架”，算出平均每个书架每层放28本书。
例4设计了“寻找条件与问题，分析数量关系”“用一种方法列式解答”“检验结果并回答问题”“回顾解决问题的过程，积累经验体会”四个教学板块。其中，分析数量关系要求“找出有联系的两个条件，说说可以先算什么”，这就是从条件向问题推理的策略。每个学生只要用一种思路列式计算，求出结果。鼓励不同学生采用不同思路、不同算法解题，相互交流解题的思考与方法。解决问题应该自觉检验结果，每个学生只要选择一种方法进行检验，不同学生可以采用不同方法检验；回顾解决问题过程包括：采用了什么方法？为什么采用这种方法？是怎样想到这种方法的？还有别的思考吗？还有更好的解法吗？怎样检验结果？这些反思所积累的就是解决问题的经验和能力。
教学例4还要注意以下几点。
第一，引导学生广泛收集可以用于解题的信息。这道例题图文结合创设问题情境，数据信息以几种不同方式呈现。图画里给出“每个书架有4层”一个条件，对话里给出“2个书架上一共放224本书”两个条件。教学应该引导学生在问题情境里找出这些已知条件，并且用自己的语言口述一道有三个条件和一个问题的实际问题。他们对题意的理解越清楚，解题就会越顺利。
第二，找准一个切入口，有序地推理，组织起完整的解题思路。条件之间的多重联系，既是形成解法的资源，也是分析数量关系的障碍，因为这些多重联系有可能互相干扰。所以，分析连除问题的数量关系，应抓住某两个条件之间的一种联系往下推理，先找到并解决一个中间问题，再联系另一个条件解决所求问题。如，根据“2个书架一共放224本书”，先算出平均每个书架放112本书，再联系“每个书架有4层”，算出平均每层放28本书。或者根据“每个书架有4层”和“2个书架”，先算出一共有8层，再联系“一共224本书”，算出平均每个书架每层放28本书。教材中，“番茄”和“萝卜”卡通各抓住了条件之间的一种联系，形成了自己的思路，都解决了问题。
第三，组织学生交流不同的思考和解法，体会连除问题的条件之间的联系是多向的，思路是开放的，解法是多样的，但不要求学生“一题多解”。即不进行采用不同解法解答同一道实际问题的练习。另外，关于先算两个“第一层”一共放56本书，再算“一个书架一层放28本书”的解法，如果没有学生想到，就不要出现在教学中。即使有少数学生想到，也不一定要求所有学生都接受和采纳。
第四，检验解题的结果十分重要，它不仅能保证答案正确，而且是一种负责任的态度，应该大力培养。检验连除问题答案的方法主要有两类：一类是利用“不同解法的结果相同”，相互印证“解答正确”；另一类是把求出的“每个书架每层放28本书”当作条件，看2个这样的书架是不是放224本书。也就是说，在求出“每个书架每层放28本书”以后，把实际问题改编成“每个书架有4层，平均每层放28本书，2个这样的书架一共放多少本书”这样一道连乘问题，可以检验连除问题。像这样“把得数代入原题”的检验方法，在以后的解题中会经常使用，应该帮助学生逐步学会并主动应用。
第五，回顾解决问题的过程，是为了积累数学活动经验。解题是一种数学活动，解题经验是数学活动经验的一部分。组织学生回顾解题过程，主要是说说自己的体会。教学不可以忽视这个环节，应该组织学生就“怎样思考和形成思路”“怎样分析数量关系
13
和形成解题方法”“怎样检验结果”等几个方面，进行交流和总结。
（六） 设计第二学段单元的《整理与练习》，调动学生自主学习的积极性 苏教版小学数学教科书为一些大单元编排单元复习。第一学段单元复习的标题是《复习》，编排若干道练习题，通过解题回忆全单元教学的主要知识内容，体验应用知识解决问题的基本思想与方法。第二学段单元复习的标题是《整理与练习》，不仅要回忆所教学的知识，而且要整理知识内容，形成良好的认知结构；不仅要应用知识解题，而且要开展小型的实践活动，积累应用知识解决实际问题的经验；不仅要评价自己掌握知识的水平与能力，而且要全面反思自己的学习状况，形成积极向上的学习情感。《整理与练习》分“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评价与反思”四个栏目编写，每个栏目都安排了具体的内容。
1. “回顾与整理”栏目里，着重回忆全单元的主要内容与重要知识，并且沟通知识之间的内在联系，组织起新的认知结构。
本单元主要教学三个数学内容：一是两、三位数除以两位数的除法，二是两步连除计算的实际问题，三是商不变规律。通过本单元的教学，学生应该知道哪些除法可以口算，哪些除法需要笔算；应该掌握两、三位数除以两位数的计算法则，试商和调商的方法；理解商不变规律并应用于某些除法计算；会分析两步连除计算实际问题的数量关系并正确解答。
教材根据本单元的内容与要求，提出问题“这一单元，你学会了哪些计算？发现了什么规律？”引导学生回忆和整理全单元的主要知识。学生的回忆很可能点点滴滴、零零星星，要帮助他们归纳出三个主要内容，并整理成合理的结构。有关除法计算的知识内容可以整理成这样几点：
（1） 比较容易的几十除以几十、几百几十除以几十的除法一般口算，如90÷30、240÷30等；两、三位数除以两位数一般笔算，如84÷17、468÷37等。
（2） 口算几十除以几十、几百几十除以几十，可以应用商不变规律，化简成一位数除以一位数、几十几除以一位数进行口算。如240÷30可以看成24÷3来计算。
（3） 笔算两、三位数除以两位数，可以看成两、三位数除以整十数来试商。得到的初商有可能过大或过小，需要适当调商。
对于除法计算还可以深入回忆与整理。两、三位数除以两位数一般怎样试商？把除数看成整十数试商有什么好处？为什么会出现初商过小或初商过大的情况？如何发现初商过小或过大？如何调商？
复习连除计算的实际问题，应该整理分析数量关系的思路。联系具体的问题，说说一般采用什么策略，怎样从条件向问题推理。
复习商不变规律，应指向具体的除法算式，说说规律的内容，说说应用规律进行计算时应注意些什么。
2. “练习与应用”栏目里，编排了11道练习题，应用本单元教学的知识，进行有关除法计算和解决实际问题。
可以利用第1题加强口算训练，利用第2题反思除法的试商和调商方法，利用第3题进行除法计算的练习，利用第6题解释商不变规律及其应用，利用第7题加强对商不
14
变规律的体验，利用第8题渗透除法性质，利用第4、5、9、10、11等题体会分析数量关系、确定解题思路的方法。
第2题是除法题组，同组的三道题中，一道的除数是几十，另两道的除数是一般两位数。而且一题“四舍”试商，一题“五入”试商；有一题或两题需要调商。教学这道题，应组织“算一算”“比一比”“说一说”等学习活动，分别算出各题的商，比较同组三题的相同点和不同点，使学生有结构、有深度地理解除法法则。
第7题根据888÷24=37直接得出六道除法题的商，灵活应用商不变规律。从888÷24=37到444÷12、222÷6、111÷3，连续使用被除数和除数同时除以同一个不是0的数，商不变。再到333÷9、555÷15、999÷27，连续使用被除数和除数同时乘同一个不是0的数，商不变。看出从一道算式到另一道算式的变化，理解被除数与除数同时、同样进行变化，商不变，就加强了关于商不变规律的体验。
第8题通过题组渗透除法性质。比较360÷12与360÷3÷4等三组题，体会360除以12相当于360除以3再除以4，就渗透了除法运算的性质。
3. “探索与实践”栏目里，编排2道练习题，这些题不同于以前解答过的问题，含有新的内容，需要通过探索、实践来解决问题。
第12题，通过“每次运苹果的箱数”不变，“总箱数”越多，“运的次数”越多这个事实，加强对数量关系“总箱数÷每次运的箱数=运的次数”的体验；渗透“被除数乘2、4、5，除数不变，商也乘2、4、5”的规律，蕴含着简单的函数思想。
第13题，调查家乡到北京的路程以及主要交通工具的行驶速度，计算从家乡到北京所需要的时间，培养利用和收集数据的意识与能力。这是一次小型的实践活动。
4. “评价与反思”栏目里，回顾主要知识的学习过程以及自己的表现，通过“给自己画几颗星”的方式，评价自己的学习态度、学习方法和学习效果，培养积极的数学学习情感。
如关于除法计算的学习，态度上是不是“积极探索”“积极总结”，效果上是不是“会正确计算”。又如关于两步连除计算实际问题的学习，态度上能不能自觉运用已经学习的解决问题的策略，能不能经常反思解决问题的过程，解题水平上是不是能正确解决实际问题，是不是积累了解决问题的经验。
简单的周期分析
日常生活中经常会遇到周期现象。
《辞海》对“周期”的解释是：（1） 物体（或物体的一部分）、物理量完成一次振动（或振荡）所需要的时间。振动物体或振荡量在经过一个周期以后，回复到初始状态。（2） 天体（或其他物体）再度回到某一相对位置或恢复同一状态所需要的时间。小学数学所说的“周期”比较宽泛，主要指物体或其他对象，重复回到开始状态的现象。比
15