北京交通大学2001年硕士研究生入学考试试题
符号说明：Sgn(t)为符号函数，?(t)为单位冲击信号，?(k)为单位脉冲序列，?(t)为单位 信号，?(k)为单位阶跃序列。
一、填空
1. 已知f(t)?(t?4)?(t)，求f\(t)?_______。
2. 已知f(k)?{1,2,?2,1},h(k)?{3,4,2,4}，求f(k)?h(k)?______。 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数H(j?)?_______。
2tf()4取样的最大间隔是______。 4. 若f(t)最高角频率为?m，则对
5. 信号f(t)?4cos20?t?2cos30?t的平均功率为______。
6. 已知一系统的输入输出关系为y(t)?f(3t)，试判断该系统是否为线性时不变系统
_ _____。
F(s)? 7. 已知信号的拉式变换为
1(s2?1)(s?1)，求该信号的傅立叶变换
12?z?1?z?2，判断该系统是否稳定
F(j?)=______。
8. 已知一离散时间系统的系统函数
______。
?H(z)?2(t?2t)?(?t?1)dt?______ 9. ???。
?j3?,A(?)是一实偶函数， 10. 已知一信号频谱可写为F(j?)?A(?)e试问f(t)有何种
对称性______。
二、简单计算题
1. 已知连续时间系统的单位冲激响应h(t)与激励信号f(t)的波形如图A-1所示，试由时域求解该系统的零状态响应y(t)，画出y(t)的波形。
图 A-1
位脉冲响应h(k)。
f(k)h1(k)
kh(k)??(k?2),h(k)?(0.5)?(k)，求该系统的单22. 在图A-2所示的系统中，已知1?y(k)h2(k)图 A-2
3. 周期信号f(t)的双边频谱如图A-3所示，写出f(t)的三阶函数表示式。
Fn???-3?2??-2-1012?3n图 A-3
试求单位阶跃信号?(t)通过该系统的响应并画出其波形。
4. 已知信号f(t)??(t)??(t?1)通过一线性时不变系统的响应y(t)如图A-4所示，
y(t)202图 A-4
t
5. 已知f(t)的频谱函数F(j?)?Sgn(??1)?Sgn(??1)，试求f(t)。 6. 已知一连续时间系统的单位冲激响应
k?1h(t)?1?Sa(3t)，输入信号
f(t)?3?cos2t,???t??时，试求该系统的稳态响应。
7. 某离散系统的单位脉冲响应h(k)?[(?1)?(?0.5)]?(k)，求描述该系统的差分方程。
8. 已知一离散时间系统的模拟框图如图A-5所示，写出该系统状态方程和输出方程。
k?1?-z?1x1(k)?y1(k)f(k)?a-z?1x2(k)?y2(k)b图 A-5
三、 综合计算题
1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为
y\(t)?7y'(t)?10y(t)?2f'(t)?3f(t)
已知f(t)?e?t?(t),y(0?)?1,y'(0?)?1,由s域求解：
(1)零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)，完全响应y(t)； (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定； (3)画出系统的直接型模拟框图。
2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为
y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?f(k)k?0
已知f(k)??(k),y(?1)??2,y(?2)?3,由z域求解： (1)零输入响应yx(k)，零状态响应yf(k)，完全响应y(k)； (2)系统函数H(z)，单位脉冲响应h(k)。 (3) 若f(k)??(k)??(k?5)，重求（1）、（2）。
3. 试分析图A-6所示系统中B、C、D、E和F各点频谱并画出频谱图。已知f(t)的频谱F(j?)如图A-6，
f(t)A??T(t)?n?????(t?nT),T?0.021H1(j?)。
1H2(j?)?BC?120??100?D?100?120??E?20?cos100?tFy(t)20??T(t)FA(j?)0.1?20??20?图 A-6
参考答案
一、解：
1. f'(t)?2t?(t)?(t?4)?(t)?2r(t)?4?(t)，f\(t)2?(t)?4?'(t) 2. 利用排表法可得f(k)?h(k)?{3,10,4,3,8,?6,4} 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数H(j?)?Ke?j?t02
4. 信号f(t)的最高频率为?m，根据Fourier变换的展缩特性可得信号f(t/4)的最高角频率为?m/4，再根据时域抽样定理，可得对信号f(t/4)取样时，其频谱不混叠的最大
?4???max?m 取样间隔Tmax为
j20?t?2e?j20?t?ej30?t?e?j30?t，利用Parseval5. f(t)?4cos20?t?2cos30?t?2eTmax?功率守恒定理，可得信号f(t)的平均功率为
P?6. 根据已知有
n????Fn?22?22?1?1?10?2
y(t)?T{f(t)}?f(3t),y1(t)?T{f1(t)}?f1(3t),y2(t)?T{f2(t)}?f2(3t)，由于
T{af1(t)?bf2(t)}?af1(3t)?bf2(3t)?ay1(t)?by2(t)T{f(t?t0)}?f(3t?t0)?y(t?t0)，故系统为线性时变系统。
7. 由于信号s域表达式中有一个极点在右半s平面，故傅立叶变换F(j?)不存在。 8. 由于系统的极点为z1??1,z2?0.5，有一个极点在单位圆上，故系统不稳定。 9. 利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得
10. 根据Fourier变换的共轭对称性，由于A(?)为实偶函数，故信号应为实偶函数。再
??????(t?2t)?(?t?1)dt??(t2?2t)?(1?t)dt?(t2?2t)t?1?32?利用Fourier变换的时移特性，频谱F(j?)相频特性?3?对应信号右移3，因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。
二、解：
1. 系统的零状态响应y(t)?f(t)?h(t)，其波形如图A-7所示。
6420h(t)12图 A-7
34t
2.
h(k)??(k)?h1(k)?h2(k)??(k)??(k?2)?(0.5)k?[k]??(k)?(0.5)k?2?(k?2)
3. 写出周期信号f(t)指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示
式为
f(t)?n????Fen?jn?0t?e?j2?0t?2e?j?0t?2?2ej?0t?ej2?0t?2?4cos?0t?2cos2?0t?
4. 因为
?(t)?f(t)?f(t?1)???f(t?i)????f(t?i)i?0故利用线性时不变特
性可求出?(t)通过该系统的响应为
321T{?(t)}??y(t?i)i?0?波形如图A-8所示。
T{?(t)}?t012345图 A-8
???1?2,F(j?)?Sgn(??1)?Sgn(??1)???2g2(?)??1??0,5. ，因为
g2(t)?2Sa(?)，由对称性可得：2Sa(t)?2?g2(??)?2?g2(?)，因此，有
f(t)?6. 系统的频响特性为
2?Sa(t)
?1/3,1H(j?)?FT[h(t)]?g6(?)??3?0,利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即
??3??3
可以求出信号f(t)?3?cos2t,???t??，作用在系统上的稳态响应为
T{cos(?0t??)}?H(j?0)cos(?0t??(?0)??)
1T{f(t)}?1?cos2t,???t??3
7. 对单位脉冲响应进行z变换可得到系统函数为
由系统函数的定义可以得到差分方程的z域表示式为 进行z反变换即得差分方程为
?1?2?3?2.5z?1H(z)????1?11?z1?0.5z1?1.5z?1?0.5z?2
(1?1.5z?1?0.5z?2)Yf(z)?(?3?2.5z?1)F(z)
8. 根据图A-5中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为 围绕输出端的加法器可以列出输出方程为 写成矩阵形式为
y(k)?1.5y(k?1)?0.5y(k?2)??3f(k)?2.5f(k?1)
x1(k?1)??ax1(k)?f(k),x2(k?1)??bx2(k)?f(k)
y1(k)?x1(k)?x2(k),y2(k)?x1(k)?x2(k)
三、解：
?x1(k?1)???a0??x1(k)??1??x(k?1)???0?b??x(k)???1?f(k)??2????2??
?y1(k)??11??x1(k)??y(k)???11???x(k)???2? ?2??1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得 整理后可得
s2Y(s)?sy(0?)?y'(0?)?7sY(s)?7y(0?)?10Y(s)?(2s?3)F(s)
sy(0?)?y'(0?)?7y(0?)2s?3Y(s)??F(s)22s?7s?10s?7s?10
Yx(s)?s?82?1??s2?7s?10s?2s?5
零输入响应的s域表达式为
进行拉斯反变换可得 零状态响应的s域表达式为
yx(t)?2e?2t?e?5t,t?0
Yf(s)?进行拉斯反变换可得
2s?32s?31/41/312/7F(s)????s2?7s?10(s2?7s?10)(s?1)s?1s?2s?5
117yf(t)?(e?t?e?2t?e?5t)?(t)4312
y(t)?yx(t)?yf(t)?1?t1?2t19?5te?e?e,t?04312
完全响应为