10. 已知连续时间信号f(t)?sint[?(t)??(t??/2)]，其微分f'(t)?______。
三、计算题
1. 已知f(t)的波形如图A-3所示，令r(t)?t?(t)。
f(t)10-1图A-3
(1) 用?(t)和r(t)表示f(t)； (2) 画出f(?2t?4)的波形。
2. 已知某线性时不变（LTI）离散时间系统，当输入为?(k?1)时，系统地零状态响应
1234t1()k?(k?1)为2，试计算输入为f(k)?2?(k)??(k)时，系统的零状态响应y(k)。
3. 某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应h(t)和输入f(t)如图A-4所示，从时域
求解该系统的零状态响应y(t)。
f(t)1-10-11th(t)102
图A-4
4. 已知连续时间LTI因果系统工程微分方程为
y\(t)?5y'(t)?6y(t)?f(t)?4f'(t),t?0
?t??f(t)?e?(t)y(0)?1,y'(0)?3。 输入，初始状态
(1) 利用单边拉式变换的微分特性将微分方程转换为s域代数方程。 (2) 由s域代数方程求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)。 5. 已知连续系统的系统函数H(s)的零极点如图A-5所示，且H(?)?2。
j??-3?-10图A-5
2?
(1) 写出H(s)的表达式，计算该系统的单位冲激响应h(t)； (2) 计算该系统的单位阶跃响应g(t)。
6. 已知某高通的幅频特性和响频特性如图A-6 所示，其中?c?80?，
H(j?)10?(j?)??c0?c?图A-6
??2?
(1) 计算该系统的单位冲激响应h(t).
?t，求该系统的稳态响应y(t)。 (2) 若输入信号f(t)?1?0.5cos60?t?0.2cos120 7. 一离散时间LTI因果系统的差分方程为
y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?2f(k)?f(k?1)
系统的初始状态y(?1)?1/2,y(?2)?1/4,输入f(k)??(k)。
(1) 由z域求系统的零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)。 (2) 求该系统的系统函数H(z)，并判断系统是否稳定。
z2?2zH(z)?3z?3z2?2s?1 8. 已知一离散系统的系统函数
(1) 画出系统的直接型模拟框图；
(2) 在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。
9. 在图A-7所示的系统中，周期信号p(t)是一个宽度为?(??T)的周期矩形脉冲串，信号f(t)的频谱为F(j?)。
(1) 计算周期信号p(t)的频谱Fn； (2) 计算p(t)的频谱率密度p(j?)； (3) 求出信号fp(t)的频谱表达式Fp(j?)
(4) 若信号f(t)的最高频率?m，为了使Fp(j?)频谱不混迭，T最大可取多大？
f(t)?p(t)fp(t)?APT(t)?t?T??2图A-7
?2T
参考答案
一、解：
1. 利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得
5??5(t?3)?(?2t?4)dt?故答案为B。
151(t?3)?(t?2)dt?(t?3)t?2??0.5??5?22
2. 由于y(t)为信号f(t)的偶分量，利用傅立叶变换的共轭对称性，其频谱为f(t)频谱
的实部，故答案为A。
H(j?)? 3. 由系统函数可知系统的频率特性为故系统为低通，即答案为A。
11?j?，由于H(j0)?1,H(j?)?0，
1T0/211F0??f(t)dt??10dt?4?T0/2FT5?10 4. 直流分量即为傅立叶系数的0。由于故答案为C
kk?0?k?1,?[n]??(k?1)?(k)??k?0?0, 5. 由于n???故答案为D。
6. 若信号s域表达式的极点在右半s平面，则其不存在傅立叶变换。由于题中四个信号
只有D的极点在右半s平面，故答案为D。
7. 信号f(t)的最高频率为f0(Hz)，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号f(t/2)的最高频率为f0/2(Hz)，再根据时域抽样定理，可得对信号f(t/2)取样时，其频谱不混迭的最大取样间隔Tmax为 8. 根据已知条件，有
Tmax?11?2fmaxf0，故答案为A。
y(t)?T{f(t)}?f(4t),y1(t)?T{f1(t)}?f1(4t),y2(t)?T{f2(t)}?f2(4t)
由于T{af1(t)?bf2(t)}?af1(4t)?bf2(4t)?ay1(t)?by2(t)
故系统为线性时变系统，即答案为B。
T{f(t?t0)}?f(4t?t0)?y(t?t0)
9. 由于周期信号f(t)??f(?t),f(t)??f(t?T/2)，故其频谱成分只有奇次谐波的正弦分量，即答案为C
10. F(z)的极点为z1?1/2,z2?2，只有收敛域为z?max(z1,z2)?2时，f[k]才是因果序列，故答案为C。
二、解：
1. 利用冲激信号的展缩特性和筛选特性，可得
11[?(t)??(t?2)]??(2t?2)?[?(t)??(t?2)]??(t?1)??(t?1)22
2、利用排表法可得 f(k)*h(k)?{2,?3,3,?1,5,6} 3、连续时间信号f(t)?sint的基本周期为
?T0?2??0?2?。若对f(t)以fs?1Hz进行抽
样，所得离散序列f(k)?f(t)t?kT?sink。由于离散序列f(k)?sink的角频率
?01?2?2?不是有理数，故该序列不是周期序列。
4、对连续时间信号延迟t0延迟器的单位冲激响应为?(t?t0)，积分器的单位冲激响应为?0?1,?(t)，微分器的单位冲激响应为?'(t)。
5、由于H(j?)的分子分母互为共轭，故有 所以系统的幅度响应和相位响应分别为
H(j?)?ej2arctan(?)
H(j?)?1，?(?)?2arctan(?)
由于系统的相频响应?(?)不是?的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。
sint??g2(?)6、由于t，根据Parseval能量守恒定律，可得
1?sint?dt????t?2?????27、LTI系统为BIBO稳定系统得充要条件是
?1?g(?)d???2d???2??2??1??
2?18、根据傅立叶变换的乘积特性，可得
2???h(t)dt??
1F(j?)*F(j?)2?
若F(j?)的最高频率为?m(rad/s)，则F(j?)和F(j?)卷积后的最高频率为
f(t)?F2?m(rad/s)，信号f2(t)的最高频率是2?m(rad/s)。
9、用g(k)表示单位阶跃响应，由于?(k)]??(k)??(k?1)，利用线性和时不变特性，可得
?1??1?h(k)?g(k)?g(k?1)????(k)????(k?1)?4??4?
10、对信号f(t)?sint[?(t)??(t??/2)]微分，可得
f?(t)?cost[?(t)??(t??/2)]?sint[?(t)??(t??/2)]
'利用冲激信号的筛选特性化简，可得f(t)?cost[?(t)??(t??/2)]??(t??/2) 三、解：
1、(1)f(t)?r(t)?r(t?1)??(t?2)?r(?t?3)?r(?t?4)??(?t?2)
(2) 将f(?2t?4)改成f[?2(t?2)]，先压缩，再翻转，最后左移2，即得f(?2t?4)，如图A-8所示。
1f(2t)1.5kk?1f(?2t)1f[?2(t?2)]1t0-12t1-2-1.5t-1-0.50-1-4-3.5-3-2.5-20-1图A-8
2、由已知，有
根据时不变特性，可得
?1?T{?(k?1)}????[k?1]?2? 1?1?h(k)?T{?(k)}????(k)2?2?
f(k)?2?(k)??(k)?2?(k)?kk由于
n?????(k)k根据线性和时不变特性，可得
?1?1?k?y(k)?2h(k)??h(n)??1?????(k)n????2?2????
3、系统的零状态响应y(t)?f(t)*h(t)，如图A-9所示。
k1-10-1y(t)t123图A-9
4、(1) 对微分方程两边做单边拉斯变换即得s域代数方程为 (2) 整理上述方程可得系统完全响应得s域表达式为
s2Y(s)?sy(0?)?y'(0?)?5sY(s)?5y(0?)?6Y(s)?(4s?1)F(s)
sy(0?)?y'(0?)?5y(0?)4s?1Y(s)??F(s)22s?5s?6s?5s?6
Yx(s)?s?21?s2?5s?6s?3
其中零输入响应的s域表达式为
取拉斯反变换可得 零状态响应的s域表达式为
yx(t)?e3t,t?0
Yf(s)?取拉斯反变换可得
4s?14s?1?1/4?313/4F(s)????(s?2)(s?3)(s?1)s?1s?2s?3 s2?5s?613??1Yf(t)???e?t??3e2t?e3t??(t)4?4?
5、(1) 由零极点分布图及H(?)的值可得出系统函数H(s)为
H(s)?K取拉斯反变换可得
s(s?2)2s(s?2)3?15??2??(s?1)(s?3)(s?1)(s?3)s?1s?3
(2) 单位阶跃响应的s域表达式为
h(t)?2?(t)?(3e?t?15e?3t)?(t)
2s(s?2)1?35??(s?1)(s?3)ss?1s?3
?t?3tg(t)?(?3e?5e)?(t) 取拉斯反变换可得
G(s)?H(s)LT[?(t)]??j?t0H(j?)?[1?g(?)]e2?c6、(1) 因为系统的频率特性为：。又因为
由时移性质得
?cSa(?ct)?g2?(?)?(t)?1，?，所以，有
?h1(t)??(t)?cSa(?ct)??(t)?80Sa(80?t)?
ch(t)?h1(t?t0)??(t?t0)?80Sa[80?(t?t0)]
(2) 由于高通系统的截频为80?，信号f(t)只有角频率大于80?的频率分量才能通过，故