7、(1) 对差分方程两边进行z变换得 整理后可得
y(t)?0.2cos120?(t?t0)
Y(z)?3[z?1Y(z)?y(?1)]?2[z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)]?(2?z?1)F(z)
?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)2?z?1Y(z)??F(z)1?3z?1?2z?21?3z?1?2z?2
零输入响应的z域表达式为
取z反变换可得系统零输入响应为 零状态响应的z域表达式为
?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)?2?z?11?3Yx(z)????1?3z?1?2z?21?3z?1?2z?21?z?11?2z?1
yx(k)?[(?1)k?3(?2)k]?(k)
取z反变换可得系统零状态响应为
(2?z?1)F(z)2?z?1?1/221/2Yf(z)?????1?3z?1?2z?2(1?3z?1?2z?2)(1?z?1)1?z?11?2z?11?z?1
11Yf(k)?[?(?1)k?2(?2)k?]?(k)22 Yf(z)2?z?1H(z)??F(z)1?3z?1?2z?2 (2) 根据系统函数的定义，可得
由于系统的极点为z1??1,z2??2，均不在单位圆内，故系统不稳定。
z?1?2z?2H(z)?1?3z?1?2z?2?z?3，由此可画出系统的直接型模拟框8、(1) 将系统函数改写为
图，如图A-10所示。
2F(z)---?z?1x3(k)z?1x2(k)z?1x1(k)?Y(z)32图A-10
(2) 选择延时器的输出作为状态变量，如图A-44所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为
围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为
x1(k?1)?x2(k) x2(k?1)?x3(k)
x3(k?1)?x1(k)?2x2(k)?3x3(k)?f(k) y(k)??2x2(k)?x3(k)
9、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号p(t)的频谱Fn为
11A?jn?0t?jn?0t?jn?0tFn?f(t)edt?Aedt?eT?T?/2T???/2T(?jn?0)T/2?/2t??/2t???/2
?(2)周期信号p(t)的指数函数形式的傅立叶级数展开式为
?Asin(n?0?/2)?A?n?0??2??Sa??,?0?Tn?0?/2T?2?T
??n?0??jn?0tSa??e?T2??n???
对其进行Fourier变换即得p(t)的频谱密度P(j?)为
p(t)??AP(j?)?2?n??????A?n???Sa?0??(??n?0)T?2?
(3)由于fp(t)?f(t)p(t)，利用傅立叶变换的乘积特性，可得
?1?A?n???Fp(j?)?F(j?)*P(j?)??Sa?0?F(??n?0)2??2?n???T
(4)从信号fp(t)的频谱表达式Fp(j?)可以看出，当?0?2?m时，Fp(j?)频谱不混迭，
T?即
??m
北京交通大学2005年硕士研究生入学考试试题
一、填空（30分，每小题3分）
1、某连续系统的零状态响应为y(t)?2f(t)?1，试判断该系统特性（线性、时不变、稳定
性） 。
2、?(t)cos(2t)= 。
3、若离散时间系统的单位脉冲响应为h(k)?{1,?1,2}，则系统在f(k)?{1,2,?2,1}激励下的零状态响应为 。
j??j?4、已知一周期信号f(t)的周期T0?2?，其频谱为F0?1,F1?0.5e,F?1?0.5e,
??F3??0.2j,F?3?0.2j，写出f(t)的时域表达式 。
100t)?(t)的频谱F(j?)= 。 5、信号f(t)?ecos(6、信号时域变化越快，其对应的频谱所含的高频分量（越少，越多） 。
7、已知一连续时间LTI系统的单位冲激响应h(t)??(t)??(t?1)，其系统单位阶跃响应
?2tg(t)= 。
h(t)t??的值
8、已知某因果连续LTI系统H(s)全部极点均位于s左半平面，则为 。
9、对信号Sa(100t)均匀抽样，其频谱不混叠的最小抽样角频率为 。
2?t??f(t??)d?,t?2y(t)??2?0,t?2，单边拉氏变换Y(s)= 。 f(t)?F(s)?10、若，则信号
二、简单计算题（60分） 1、（8分）信号f(t)与h(t)的波形如图A-1所示，试求此两信号的卷积y(t)，并画出y(t)的波形。
f(t)1-10-11t2h(t)-10t图A-1
'
2、（8分）若f(t)的波形如图A-2所示，试画出f(t)和f(?0.5t?1)的波形。
2-2-2024t图A-2
3、（8分）某连续LTI时间系统得频率响应H(j?)如图A-3所示，试求：
1-4(1)系统的单位冲激响应h(t)；
H(j?)-20图A-3
24?
(2)输入f(t)?1?0.6cost?0.4cos3t?0.2cos5t,???t??，系统的输出y(t)。 4、（8分）已知一LTI离散时间因果系统的零极点分布如图A-4所示，图中?表示极点，0表示零点，且H(?)?4，试求该系统的单位脉冲响应h[k]，并判断系统是否稳定。
Im(z)?-3-2?-10Re(z)
图A-4
5、（8分）已知某离散时间系统如图A-5所示，试求该系统的单位脉冲响应h(k)。其中
h1(k)??(k?1)，h2(k)?0.5k?(k)。
f(k)h1(k)h2(k)图A-5
y(k)
6、（8分）已知f(t)通过一LTI系统的响应为y(t)，试用时域方法求g(t)通过该系统的响应z(t)，并画出z(t)的波形。f(t)，y(t)，g(t)的波形如图A-6所示。
f(t)11y(t)-10-11t0134tg(t)1-101t
(?2) 图A-6
7、（6分）试求图A-7所示信号的频谱F(j?)。
1-3-2f(t)t
2图A-7
3F(s)?8、（6分）已知的波形。
1s(1?e?2s)，收敛域Re(s)?0，试求其拉氏反变换f(t)，并画出f(t)三、综合计算题（60分）
1、（20分）一线性时不变连续时间因果系统得微分方程描述为
y\(t)?3y'(t)?2y(t)?5f'(t)?4f(t),t?0
?3t??输入f(t)?e?(t)，初始状态y(0)?2,y'(0)?1,试由S域求： (1) 系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)；
(2) 系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)，并判断系统是否稳定；
(3) 若f(t)?e?(t?2)，重求（1）、（2）。
2. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如图A-8所示，输入已知
?3tf(k)?4k?(k),y(?1)??1,y(?2)?2，由Z域求解：
4F(z)-?+z?1x2[k]z?1x1[k]?Y(z)32图A-8
(1) 描述系统的差分方程
(2) 零输入响应yx(k)，零状态响应yf(k)，完全响应y(k)； (3) 系统函数H(z)，单位脉冲响应h(k)； (4) 系统的状态方程和输出方程。 3. 已知一LTI系统的频率响应为
???j3?e2??2?H(j?)???其他?0
f(t)???(t?nT0)T?4/3n???系统的输入信号f(t)为周期0冲激信号串，即
(1) 试求周期信号f(t)指数形式的傅立叶级数的系数Fn。
(2) 试求周期信号f(t)的频谱F(j?)。 (3) 试求系统的输出信号y(t)。
?
参考答案
一、解
1． 非线性、时不变、稳定系统。理由如下：
已知：f(t)?y(t)?2f(t)?1，设f1(t)?y1(t)?2f1(t)?1，f2(t)?y2(t)?2f2(t)?1 则有：?f1(t)??f2(t)?2[?f1(t)??f2(t)]?1??y1(t)??y2(t)，所以是非线性系统。 因为f(t??)?2f(t??)?1?y(t??)，因此是时不变系统。 设输入有界，即
f(t)??，则有
y(t)?2f(t)?1?2f(t)?1??，因此是稳定系统。
2．?(t)cos(2t)??(t)
???f(k)*h(k)??1,1,2,7,?5,2??? 3．由列表法可得零状态响应为：
f(t)?4．
n???jn?0t?j(?0t??)j(?0t??)?j3?0tj3?0tFe?1?0.5e?0.5e?0.2je?0.2je?n?
?1?cos(?0t??)?0.4cos(3?0t??/2) （因为?0?2?/T0?1）
?1?cos(t??)?0.4cos(3t??/2)?1?cos(t)?0.4sin(3t)
2?j?F(j?)?22100?4???j4? 5．
6．越多 7．
8．0
g(t)??h(?)d??r(t)?r(t?1)??t，这里，r(t)?t?(t)
9．最小抽样角频率为?s?2?m?400rad/s。理由如下：
Sa(100t)?因为
?100g200(?)2，所以，Sa(100t)的最高角频率为100rad/s。又因为
1???Sa2(100t)????g200(?)*g200(?)22??100?Sa(100t)的最高角频率为200 ，因此，信号
rad/s，即?m?200rad/s，根据时域采样定理可知，?s?2?m?400rad/s，即最小抽样角频率为?s?2?m?400rad/s。