（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：
，
解得：a=﹣，b=1，
∴抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+4， 答：抛物线的解析式是y=﹣x2+x+4．
（2）由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，得抛物线的对称轴为直线x=1， 直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h）， 连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E， 由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4﹣h）2， ∴h=1，
∴T的坐标是（1，1）， 答：点T的坐标是（1，1）．
（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC， ∴
=
，PM=2t，
AQ=6﹣t，
∴S=PM?AQ=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9， 当t=2时S的最大值为8； （II）当2＜t≤3时，
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作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，
则△COB∽△CFP， 又∵CO=OB，
∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AQ=4+（t﹣2）=t+1， ∴S=PM?AQ=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+当t=时，S最大值为
，
，
，
综合（I）（II）S的最大值为
答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=﹣t2+6t（0＜t≤2），S=﹣t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是
．
【点评】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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