答：存在 ，使得 五边形 矩形 ． （4） 存在． 易证 ， 所以 ，即 ， 所以 ，则 ，
．
作 于 点，
则四边形 为矩形，
所以 ， ，
故： ，
若 在 的垂直平分线上， 则 ， 所以 ，
所以 ，
即： ， 整理得： ， 解得 ， （舍去）．
综上，存在使点 在 的垂直平分线上的 ，此时 ．
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4. （1） 过点 作 于点 ，
， ， ，
， ，
， ， ，
，
解得
， ，
当 为 时， ．
（2） 过点 作 于点 ，交 于点 ．如图所示，
，
， ， ，
，
， ，
由 ，可得 ，
， 四边形 是矩形， ，
，
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，即
，
（ ）．
（3） 存在． 由题意：
，解得 或 ．
秒或 秒 时， ． 5. （1） ， ，
根据题意得： 时，四边形 是平行四边形， 即 ， 解得： ；
（2） 四边形 ， 因为 ， 所以 ， 所以
，
所以 ，
则 ， 则 ，
，
则 四边形 ， 即 ；
（3） 矩形 ， 由题意得： ， 解得： 或 ；
（4） 在 中， ， 在 中， ，
当点 在线段 的垂直平分线上时， ，即 ， 则 ， 解得： 则
或
（舍去）．
．
6. （1） 在 中， ． 由题意知： ， ． 若 ，则 ． ．
．
．
（2） 过点 作 于 ．
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，
． ．
，
（3） 不存在某一时刻，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分． 若 把 周长平分，则 ． ． 解得： ．
若 把 面积平分，则 ．
． 时方程不成立，
不存在这一时刻 ，使线段 把 的周长和面积同时平分． （4） 存在这样的时刻，使得四边形 为菱形． 过点 作 于 ， 于 ．
若四边形 是菱形，那么 ． 于 ， ． 于 ， ． ．
． ．
．
．
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， 解得 当
．
时，四边形 是菱形，
此时 ， ． 在 中，由勾股定理，得
．
菱形 边长为
7. （1） 过 点作 ，垂足为 ．
由题意可知 ．
为等边三角形，且边长为 ， ，
．
（ ）．
（2） ①当 时， 由题意可知 ， ． ． ，
，即 ． ②当 时， 此时 ． ，
，即 ．
当 ， 时， 是直角三角形． （3） 不存在．
由题意可知， ， ．
．
，四边形 的面积是 面积的三分之二，
． 即 ． 化简得 ．
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． 此方程无解．