第3章 数字特征
1． （1987年、数学一、填空）
设随机变量X的概率密度函数f(x)?1e?x?2x?12,则
?E(X)=( ),D(X)=( ).
12 [答案 填：1；.]
由X的概率密度函数可见X～N(1,
12),则E(X)=1，D(X)=
12.
2． （1990年、数学一、填空）
设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ).
[答案 填：4]
3． （1990年、数学一、计算）
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 当0 ???f(x,y)dy??x?x1dy?2x，其他情况下 （2）E(X)?2????? xfX(x)dx???2?10x?2xdx?23 12 E(X)????2 xfX(x)dx??(E(X))2?10x?2xdx?2 D(X)?EX?118 第 1 页 共 35页 4． （1991年、数学一、填空） 设X～N(2，?2）且P{2 [答案 填：0.2] X?22???2??2?1P{2?X?4}?P?0?????????(0)??????0.3??????????2 即???2???0.8,则????2??X?2??2??2?P{X?0}?P?????1???????0.2 ???????????5． （1992年、数学一、填空） 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则E(X?e?2X)?（ ）. [答案 填： 43] 6． （1995年、数学一、填空） 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则EX2=（ ）。 2 2 [答案 填：18.4] X～B(10,0.4）,则EX?(E(X))?D(X)?2.4?16?18.4 7． （1996年、数学一、填空） 设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0, 12),则E|X-Y|=( ). 2 [答案 填： ?] 令U=X-Y,则U～N(0,1),从而 第 2 页 共 35页 E|X-Y|=E|U|=?|u|????12?e?u2e?u22du?22?22????0ue?u22du =?22????20d(?u22)?????0edt?t22? 8． （1996年、数学一、计算） 设两个随机变量?与?相互独立且同分布，?的分布律为P(?=k)= 13,k=1,2,3,又X=max(?,?),Y=min(?,?). （1）写出(X,Y)的分布律; （2）求E(X). 解： （1）(X,Y)的分布律如下： YX1119292911921320192930 23 019X（2）X的边缘分布为: p3225 则E(X)=. 999． （1997年、数学一、选择） 设随机变量X与Y相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=( ). A.8 B.16 C.28 D.44 [答案 选：D] D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44 10． （1997年、数学一、计算） 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事 件是相互独立的，其概率均为0.4，用X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。 第 3 页 共 35页 解：显然X～B(3,0.4),其分布律为P{X?i}?C3i0.410.63?1，i=0,1,2,3,?0 x?0?27? 0?x?1 6?125分布函数为：F(x)?? ， E(X)= 5?81 1?x?2?125?1 2?x?11． （1998年、数学一、计算） 设随机变量X与Y相互独立，均服从N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。 解：显然X-Y～N(0,1),则E(X?Y)2?1,而E|X-Y|=故|X-Y|=1-12． ?（2000年、数学一、计算） 22?(见第102题）， 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0 ??1???p?E(X)??iqi?1p?p?(q)??p(?i?1i?1?qiq)??p??1?q????2E(X)?2?ii?1qi?1p?p?i?1?qii(iq)??p(?iq)??p??(1?q)2i?1?2??2?p?? 2?p?则： D(X)?E(X)?[E(X)]?13． （1987年、数学三、计算） 21?pp2 第 4 页 共 35页 ?x?x22a?,设X~f(x)??2ea?0,?22x?0，求随机变量Y?1的期望E(Y)。 Xx?0?x?x22a?,解：由X~f(x)??2ea?0,?1X??x?0，可知 x?01xa2?x22E(Y)?E()????x??1??f(x)dx??x0e2adx ?1axa?e01x2?()2a 令?x?d???a??t2?t1a???e02dt?2?2a??(泊松分布?e0?x2 dx?2?2)214． （1989年、数学三、计算） ?e?(x?y)，x?0,y?0 设X与Y的联合密度为f(x,y)??， 求： 0，其它?P(X?Y)，E(XY)。 ?e?(x?y)，x?0,y?0解：(X,Y)~f(x,y)??，可知 0，其它??????(x?y)P(X,Y)?????f(x,y)dxdy??dx?e0xdy 0?x?y ??????e0y?(x?y)|x???dx??????e0?2xdx??12e?2x??0?12 或??dy?e00?(x?y)dx????e0?(x?y)|0dy y?第 5 页 共 35页