?10??5?L(X)???0??2?X?0X?1X?2X?3
?EL?10?0.328?5?0.410?0?0.205?(?2)?0.057
?5.216
所以一周内的利润期望为5.216万元。 20． （1997年、数学三、计算）
游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯
处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。 解：由到达时刻X在[0,60]上服从均匀分布，可知
?1? X~f(x)??60??0，0?x?60，其它
且等候时间
?5?X??25?X Y?g(X)???55?X?60?X?5???0?X?55?X?2525?X?5555?X?60
?E(Y)?E(g(X))??g(x)f(x)dx???16060?g(x)dx
0
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51????(5?x)dx?60?025??(25?x)dx??(55?x)dx??(65?x)dx?52555??(25x?12x)22555560??1?12(5x?x)60?2?16050?(55x?12x)25525?(65x?12x)26055???(12.5?200?450?37.5)?11.67 21．
（1997年、数学三、计算）
两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、期望值与方差。 解：设Ti?{第i台自动记录仪无故障的工作时间}，i?1,2，T1与T2独立?5e?5t同分布，且Ti~E(5)，即Ti~f(t)???0t?0t?0，
T?T1?T2,t?t1?t2
当t?0时，fT(t)?0
??当t?0时，fT(t)??????fT1(t1)fT2(t2)dt
????tfT1(t1)f(t?t1)dt1?5t1 ??5e05et?5(t?t1)dt1?5tt0?5t
?25e?5t?dt1?25e0t1?25te第 12 页 共 35页
?25te?5t?f(t)???0t?0t?0 即为两台记录仪无故障工作的总时间T的
概率密度。
?E(T)?E(T1?T2)?E(T1)?E(T2)?15?15215??15225
?225 D(T)?D(T1?T2)?D(T1)?D(T2)?22．
（1998年、数学三、计算）
。
设一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量，均服从区间[10,20]上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。
解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为L元，据题意可知： 当Y?X时，L?1000Y
当Y?X时，L?1000X?500(Y?X)?500(X?Y)
Y?1000(X?Y)?500Y?XY?X即 L??
?1?，10?x,y?20且 (X,Y)~f(x,y)??100
?0，其它??EL???zf(x,y)dxdyD
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???1000y?D120x1100?dxdy?2020??D2500(x?y)?1100dxdy??dx?10ydy1020102x10?dx?5(x?1020xy)dy?
?(5y1020)dx??[1052(x?y))20220x]dx
?5?(x?100)dx?10252?[(x?20)?4x]dx1023201022?x2???5??100x?3????2010?52(400x?20x?x)20000?7500?141673所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。 23． （1999年、数学三、填空）
设随机变量Xij(i,j?1,2,?,n;n?2)独立同分布，，则
X11X12X22??X1nX2n Y?X21?Xn1?Xn2??Xnn
的数学期望EY?（ ）。（答案：0） 24． （2000年、数学三、填空）
设随机变量X在区间[?1,2]上服从均匀分布；随机变量 ,?1?()??0, Y?sgnX??1,?X?0X?0 X?0则DY?（
）。
[答案 填：
89]
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25． （1998年、数学四、填空）
设一次试验的成功率为p，进行100此独立重复试验，当p?（ ）时 ，
成功次数的标准差的值最大，最大值为（ ）。 （答案：p?解：据题意可知，D(X)?100p(1?p)，即
212,D(X)?5）
D(X)?100p(1?p)?100p?100p令(D(X))'?100?200p?0，得
12p?且D(X)?100?12?(1?12)?5。
26． （1987年、数学四、计算） 设随机变量X的概率分布为
P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5。
（1）写出其分布函数； （2）求X的期望与方差。
解：（1）由P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5，可知， 当x?1时，F(x)?P(X?x)?0
当1?x?2时，F(x)?P(X?x)?P(X?1)?0.2 当2?x?3时，
F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?0.2?0.3?0.5
当3?x时，F(x)?P(X?x)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3) ?0.2?0.3?0.5?1 ?0??0.2?F(x)???0.5?1?x?11?x?22?x?33?x 即X的分布函数。
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