Y???? ????xyf????(x,y)dxdy
?xy?(x,y)dxdy???2?????
????????1?????xy?1(x,y)dxdy?2?????
1?11??????02?33?（2）由题设
f(x,y)?28?9222?(x?xy?y)???9(x2?2xy?y2)163163?e?e?
2??2222 f1(x)f2(y)?12?e?x2?e?y2?12?e?x?y2
f(x,y)?f1(x)f2(y) 所以X和46．
不独立。
(1998年、数学四、计算）
设一箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件，现从中任取一件，且Xi???1?0抽到i等品其它，i?1,2,3。求：
（1）二元随机变量X1与X2的联合分布； （2）X1与X2的相关系数?。
解：设事件Ai?{从100件产品种任取一件是i等品}，i?1,2,3，据题意可知
P(A1)?0.8,P(A2)?P(A3)?0.1 （1）事件X1与X2的联合分布如下：
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P(X1?0,X2?0)?P[(A2?A3)(A1?A3)]?P(A3)?0.1 P(X1?1,X2?0)?P[(A1(A1?A3)]?P(A1)?0.8 P(X1?0,X2?1)?P[(A2?A3)A2]?P(A2)?0.1
P(X1?1,X2?1)?P[A1A2]?0
因而E(X1X2)?0?0?0.1?0?1?0.1?1?0?0.8?1?1?0?0 （2）关于X1的边缘概率分布如下：
P(X1?0)?P(X1?0,X2?0)?P(X1?0,X2?1)?0.1?0.1?0.2 P(X1?1)?P(X1?1,X2?0)?P(X1?1,X2?1)?0.8?0?0.8
关于X2的边缘概率分布如下：
P(X2?0)?P(X1?0,X2?0)?P(X1?1,X2?0)?0.1?0.8?0.9 P(X2?1)?P(X1?0,X2?1)?P(X1?1,X2?1)?0.1?0?0.1
因此Cov(X1,X2)?E[(X1?EX1)(X2?EX2)] ?E(X1X2?X2EX1?X1EX2?EX1EX2)
2 ?E(X1X2)?EX2EX1?EX1EX?E(X1X2)?EX1EX2?EX1EX2
?0?0.8?0.1??0.08??0.080.80.1
因此??47．
Cov(X1,X2)D(X1)D(X2)??0.08
（1999年、数学四、选择）
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设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)是X和Y（ ）。
A、不相关的充分但非必要条件
C、不相关的充要条件
B、独立的必要但非充分条件 D、独立的充要条件。
48． （2001年、数学一、填空）
[答案：选择C]
设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有P{|X?E(X)|?2}?（ ）。
[答案 填：
12]
49． （1988年、数学三、计算）
某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随
意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X。
（1）写出X的概率分布；
（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 附表：
x?(x)00.50.50.69210.8411.50.93320.9772.50.99430.999
解：（1）据题意，可知100家索赔户中被盗的索赔户数X服从二项分布，其参数n?100,p?0.2，即
X~B(100,0.2)，且P(X?k)?C100?0.2?0.8kk100?k，k?1,2,?,100
（2）由np?100?0.2?20，np(1?p)?得P(14?X?30)?P(?1.5?X?204100?0.2?0.8?4
?2.5)
50．
??(2.5)??(1.5)?1
?0.994?0.933?1?0.927（1989年、数学三、填空）
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设E(X)??,D(X)??2，则利用切贝谢夫不等式可知。 P(X???3?)?（ ）
D(X) [答案：填
19]
据切贝谢夫不等式：P(|X?E(X)|??)??2
由E(X)??,D(X)??，得P(X???3?)?2?22(3?)?19。
51． (1999年、数学三、填空)
在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果互相独立同服从正
态分布N(a,0.22)。若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，则为使 P(Xn?a?0.1)?0.95 n的最小值应不小于自然数（
）。
[答案：填16]
52． （2001年、数学三、填空）
设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系
数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P{|X?Y|?6}?（ ）。
[答案 填：
112]
事实上，
E(X?Y)?EX?EY??2?2?0,D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)?DX?DY?2?XY?P{|X?Y|?6}?P{|(X?Y)?E(X?Y)|?6}?36DX?DY?3112D(X?Y) 53． （2001年、数学三、计算）
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50
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千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977. 。 (?(2)?0.977,其中?(x)是标准正态分布函数）
解：设Xi(i?1,2,?n)是装运的第i箱的重量（单位：千克），可以将
X1,X2,?Xn视为独立同分布随机变量，而n箱的总重量
Tn?X1?X2???Xn 是独立同分布随机变量之和。
由条件知E(Xi)?50,D(Xi)?5;E(Tn)?50n;D(Tn)?5n
Tn近似服从N(50n,25n)分布， 根据列维-林德伯格中心极限定理，则每
车的装箱数n决定于条件：
?T?50n5000?50n?P{Tn?5000}?P?n??5n?5n??1000?10n????n?????0.977??(2)?
由此可见
1000?10nn?2，从而n<98.0199,即知每车最多可以装98箱。
54． （2001年、数学四、填空）
设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5,
则根据切比雪夫不等式有P{|X?Y|?6}?( ).
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