?? ??15．
??e02y?e?y?dy?1?2y?y???e?e??2???0?12
（1991年、数学三、选择）
若E(XY)?E(X)E(Y)，则（ ）正确。
A.C.D(XY)?D(X)D(Y) X与Y独立
B.D.D(X?Y)?D(X)?D(Y) X与Y不独立
2
2
2
2 [答案 选：B]
A.由DX?EX?(EX),DY?EY2?(EY)
2得DXDY?[EX?(EX)][EY2222?(EY)]
22 ?EX2EY?(EX)(EY)?EX(EY)?EY(EX)
222又D(XY)?E(XY)2?(E(XY))2?E(X2Y2)?(EXEY)2 ?E(X2Y2)?(EX)2(EY)2 可知D(XY)?D(X)D(Y)
B.由E(XY)?EXEY
得Cov(X,Y)?E(X?EX)E(Y?EY)???E(XY)?EXEY?0 可知D(X?Y)?E[(X?Y)?E(X?Y)]
?E[(X?EX)?(Y?EY)]2222 ?E(X?EX)?E(Y?EY)?2E(X?EX)(Y?EY)
?DX?DY?Cov(X,Y)?DX?DYC. 由E(XY)?EXEY，得Cov(X,Y)?0，得
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?X,Y?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0，可知X与Y不相关，但未必独立。
16． （1992年、数学三、计算）
谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1,0.2,0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的期望与方差。 解：设A?{谋设备第i个需调整的部件}且A1,A2,A3相互独立，P(A1)?0.1，P(A2)?0.2，P(A3)?0.3，同时需调整的部件数X的所
有可能取值为0,1,2,3
P(X?0)?P(A1A2A3)?P(A1)(A2)(A3)?0.9?0.8?0.7?0.504
P(X?1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398P(X?2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.1?0.2?0.7?0.092
P(X?3)?P(A1A2A3)?P(A1)(A2)(A3)?0.1?0.2?0.3?0.006
由EX?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6
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EX22222?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.82
得DX?EX17．
222?(EX)?0.82?0.6?0.46
（1993年、数学三、计算）
?32?x，0?x?2设X~f(x)??8且Y与X同分布，A?(X?a)与
?，其它?0B?(Y?a)独立，P(A?B)?34，求：（1）a值；（2）
1X2的期望。
?32?x，0?x?2解：（1）由设X~f(x)??8且Y与X同分布，
?，其它?0A?(X?a)与B?(Y?a)独立，可知当a?0时
??02P(A)?P(X?a)??a??f(x)dx??0dx?a?803??xdx?2?0dx?218x320?1
P(B)?P(Y?a)??af(y)dy?1，即
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?1?1?1?1与P(A?B)?34相矛盾，因而a?0，即
??2P(A)?P(X?a)??a??f(x)dx??8a3??xdx?2?0dx?218x32a?18(8?a)
3P(B)?P(Y?a)??af(y)dy?18(8?a)，即
3P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)
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?18(8?a)?318(8?a)?318(8?a)?3318(8?a)?334
即(8?a3)2?16(8?a3)?48?0，即a?舍去） （2）E(18．
1X2??4，a??34（不合题意，
)????x122f(x)dx??0323?xdx?x288x120?34。
（1994年、数学三、计算）
由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N(?,1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L（元）与销售零件的内径X的关系为
??1? L??20??5?,,,X?1010?X?12
X?12问平均内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 解：由X~N(?,1)，即
X??1~N(0,1)且?(x)?12?e?x22，可知
P(X?10)?P(X???10??)??(10??) P(10?X?12)?P(10???X???12??)??(12??)??(10??)
P(X?12)?P(X???12??)?1??(12??)
??1?由L??20??5?,,,X?1010?X?12
X?12得EL???(10??)?20?(12??)?20?(10??)?5?5?(12??)
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?25?(12??)?21?(10??)?5 dELd????25?'(12??)?21?'(10??)
??25?(12??)?21?(10??) dELd?212512?2令?0，即?25?e?12(12??)2?21?12?e?12(10??)2?0
即?e?12(12??)?212(10??)?e2(??11)
12ln2125?10.9
即2(??11)?ln2125，???11??平均内径?取10.9时，销售一个零件的平均利润最大。
19． （1996年、数学三、计算）
设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零。若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。
解：设X?{一周共五个工作日，机器发生故障的天数}且X~B(5,0.2)
005则：P(X?0)?C5?0.2?0.8?0.328
114 P(X?1)?C5?0.2?0.8?0.410
223 P(X?2)?C5?0.2?0.8?0.205
P(X?3)?1?P(X?3)
?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?0.057第 10 页 共 35页