524，?55）. 得两直线交点坐标为（
20. 解:设点P为平行四边形ABCD的中心, 则P是对角线AC的中点 ,
?xP??3?5?4?2?1,yP???1,22
即P( 1, -1) . ?点P又是对角线BD的中点,
21. 解：中点在x+y-3=0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x-y=0上，
3333从而求得中点坐标为（2，2），由直线?过点（2，4）和点（2，2），得直线?的方程为5x-y-6=0.
§2.2.1 圆的方程 经典例题：
22x?y?Dx?Ey?F?0 解：设所求的圆的方程为：
?xD?3y?2?1,D??1,?xD??1,yD?0,22?D(-1,0).
，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的∵A(0,0),B(11方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，
即
?F?0??D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?
解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0 王新敞22x?y?8x?6y?0 ∴所求圆的方程为：
王新敞r?1D2?E2?4F?5?D?4,?F??322；2 王新敞得圆心坐标为（4，-3）.
2222x?y?8x?6y?0(x?4)?(y?3)?25,从而求或将左边配方化为圆的标准方程，
出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 王新敞当堂练习：
1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 23,
?83??83????,?3???2,????33???; 17. (2-2,2-2), (2+2,2+2); x+y-3=0; 16. ?b?13?(?)??1418. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即a?2,(1)
且圆半径r=|PQ|=
(a?2)2?(b?1)2?b2?42,(2)
11由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -5(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.
xy?aa=1或y=kx， 19. 解：圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为
|2?3?a|?1,得a?5?2,?x?y?5?2 由x+y-a=0，d=
2.
?1,得k?6?2323,?y?(2?)x33|2k?3|2k?1 由kx-y=0，d=
.
综上，圆的切线方程为x+y-5?2=0或(2
?233)x-y=0.
20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是?D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,
1???t?1.7即：7t2-6t-1<0, 364（2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-7)2+7,
21. 解：（1）曲线C
∴不论m取何值时，x＝4, y＝-2总适合曲线C的方程，即曲线C恒过定点(4, -2). （2）D＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2
?x2?y2?20?0?x?4???的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由??4x?2y?20?0?y??2,
?87??64??r??0,?,?r??0,?.?7?7????2?x?2m?∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ?∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由?y??m
消去m得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.
（3）若曲线C与y轴相切，则m≠2，曲线C为圆，其半径r=
220(m?2)2,
又圆心为(2m, -m),则
20(m?2)=|2m|,
?m?5?52.
§2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系 经典例题：
解：设圆C圆心为C(x, y), 半径为r，由条件圆C1圆心为C1(0, 0)；圆C2圆心为C2(1, 0)； 两圆半径分别为r1＝1, r2＝4，∵圆心与圆C1外切 ∴|CC1|＝r+r1， 又∵圆C与圆C2内切， ∴|CC2|＝r2-r （由题意r2>r），∴|CC1|+|CC2|＝r1+r2， 即
x2?y2?(x?1)2?y2?1?4?5 ,?化简得24x2+25y2-24x-144＝0, 即为动圆圆心轨迹
方程.
当堂练习：
101.D; 2.B; 3.A; 4.D; 5.D; 6.A; 7.B; 8.D; 9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.2; 15. 13或3; 16. 外切;
17. (x-3)2+(y-3)3=18;
18. 证明：（1）将直线?的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由, ?直线?过定点A（3，1）， ?（3-1）2+（1-2）2=5<25，?点A在圆C的内部，故直线?恒与圆相交.
1??AO，（2）圆心O（1，2），当截得的弦长最小时，由kAO= -2, 得直线?的方程为y-1=2(x-3)，
?x?y?4?0?x?3,得???2x?y?7?0?y?1即2x-y-5=0.
19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x2+y2+2x-2y-3+?(x+3y-7)=0,
整理得x2+y2+（2+?）x+（3?-2）y-3-7?=0，令y=0，得x2+y2+（2+?）x -3-7?=0
?圆在x轴上的两截距之和为x1+x2= -2-?,同理，圆在y轴上的两截距之和为2-3?，故有-2-?+2-3?=-8，?=2，所求圆的方程为x2+y2+4x+4y-17=0. 20. 解：设所求圆圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|， 由题设知圆P截x轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2, 又圆P被 y轴所截提的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1. 又因为P（a,b）到直线
5x-2y=0的距离为5，
|a?2b|所以d=
55=5，即|a-2b|=1, 解得a-2b=?1,
?2b2?a2?1?2b2?a2?1?a??1?a?1或解方程组得或????b??1a?2b?1a?2b??1??b?1, ?由此得?于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.
2721. 解：公共弦所在直线斜率为3，已知圆的圆心坐标为（0，2），
73 故两圆连心线所在直线方程为y-2=-2x, 即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
??(?2)2?32?2D?3E?F?0?D?2?2?2??E??10?1?4?D?4E?F?0??F?21DE??（3?）?（2?)?7?022由?,
?所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.
§2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离
经典例题：
解：（1）假设在在y轴上存在点M，满足|MA|?|MB|．
因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA|?|MB|，可得
32?y2?12?12?y2?32，
显然，此式对任意y?R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|?|MB|．
（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由（1）可知，y轴上任一点都有|MA|?|MB|，所以只要|MA|?|AB|就可以使得△MAB
是等边三角形． 因为
|MA|?(3?0)2?(0?y)2?(1?0)2?10?y2 |AB|?(1?3)2?(0?0)2?(?3?1)2?20
于是10?y2?20，解得y??10
故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，10，0），或（0，?10，0）．
当堂练习：
1.B; 2.A; 3.A; 4.B; 5.C; 6.B; 7.B; 8.C; 9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, 17. (0, 3?29,0); 18. 解: (1)|AB|=
(1?1)2?(1?1)2?(0?1)2?1;82,3); 15. 7; 16. 3 , 2;
(2)|CD|=
(?3?0)2?(1?2)2?(5?3)2=22.
22219. 证明: ?|AB|?89,|AC|?75,|BC|?14,?|AC|?|BC|?|AB|,
??ABC为直角三角形.
20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x
,
,y , z) , 则
(x?1)2?(y?0)2?(z?1)2?(x?3)2?(y?2)2?(z?1)2 化简得4x-4y-3=0即为所求.
(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则
(x?3)2?(y?2)2?(z?2)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?2)2,
化简得2x-y-2z+3=0即为所求.
21. 解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D－xyz．
因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面ABCD平行， 从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b， 由H为DP中点，得H（0，0，b） E在底面面上的投影为AD中点，所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0，所以E（a，0，b）， 同理G（0，a，b）； F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E横坐标相同都是a， 与G的纵坐标也同为a，又F竖坐标为b，故F（a，a，b）．
必修2综合测试
1.D; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B; 8.B; 9.D; 10.C; 11.A; 12.A; 13. 2x＋3y＋10＝0; 14. 8; 15. y=(x-1)2; 16.3;
17. (1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C , ∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N , ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1.
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 , ∴C1N⊥C1B1 , ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C .
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C , ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.;
18. 解：设x1?x2, 且x1，x2?R， 则x2?x1?0， 由条件当x?0时，f(x)?0 ?f(x2?x1)?0 又f(x2)?f[(x2?x1)?x1]?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x)为增函数， 令y??x，则f(0)?f(x)?f(?x)
又令x?y?0 , 得f(0)?0 , ?f(?x)??f(x)， 故f(x)为奇函数，
1]上的值域为[?4，2]. ?f(1)??f(1)?2，f(?2)?2f(?1)??4, ?f(x)在[?2，??????AB?平面ABC??AB||EG????EG||FH??平面ABC???EG???EFGH是平行四边形.??同理AB||FH???同理EF||GH??证明：（1）
AB||?19.
EFAEEGCE??CDAC （2）?AB||EG ABCA , 同理
CEAEEGEF??1???1CAACABCD 又
? ?AB=CD=a ?EG+EF=a, ? 平行四边形EFGH的周长为2a.
20. 解：（1）反射线经过点A（0，2）关于x轴的对称点A1（0，-2），这条光线从A点到切185点所经过的路程即为A1（0，-2）到这个圆的切线长5. (2) 入射光线的方程为2x+y-2=0
或x+2y-4=0. 21. 解：（1）分离参数p得(4y-4x)p+x2+y2-8y+8=0,
?x?y?0?x?2??2?x?y2?8y?8?0?y?2?由,
即圆恒过定点（2，2）.
,
(2)
?x?2p?圆方程可化为(x-2p)2+[y-(4-2p)]2=8(p-1)2,得圆心的参数方程为?y?4?2p消去参数p得: x+y-4=0 (x?2).
|2pk?b?4?2p|1?k2?22|p?1| （3）设圆的公切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，则两边比较系数得k=1, b=0，所以圆的公切线方程为y=x .
,
22. 解：（1）令m?n?0得f(0)?f(0)?f(0)，?f(0)?0或f(0)?1.
若f(0)?0，当m?0时，有f(m?0)?f(m)?f(0)，这与当m?n时，f(m)?f(n)矛盾， ?f(0)?1.
（2）设x1?x2，则x2?x1?0，由已知得f(x2?x1)?1，因为x1?0，f(x1)?1， 若x1?0时，?x1?0，f(?x1)?1，由f(0)?f(x1)?f(?x1)
?f(x1)?1?0,f(x2)?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1),?f(x)在R上为增函数.f(?x1)
（3）由
f(x2)?f(y2)?f(1)得 由得 （2）
从（1）、（2）中消去22222得(a?b)x?2acx?c?b?0，因为A?B??,
22222222 ???(2ac)?4(a?b)(c?b)?0， 即a?b?c.