n?Sn?(1?2???n)?b1(1?q)1?q?(1?n)n2????????????10分
1n1?()2n?1(1?n)n3?n?n?33???.???????????12分 1221?317．(本题满分12分) （１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有
P(??0)?660?1106个，
… （3分）
（２）由（1）可知
P(??0)?110；
P(??1)?1130；
P(??2)?25；
P(??3)?215 … （7分）
分布列
? 0 110111 11302 23 215p 5 … （10分）
E?=0×
110+1×
2247+2×+3×= …（12分） 301530518(本题满分14分)
A
M M D
O
A D
O
C
N B C
N
B 解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM?MN, BC?MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60o， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=22,所以，BD=
6，由题可知BO=OD=
3，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥
DO ……………………………………………………………………………………… 5分
解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EF?CD, OF?CD, 所以，CD?面OEF, OE?CD 又BO=OD，所以OE?BD, OE?面ABCD, OE?面BOD, 平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，…………………… 8分 所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。……………………11分
233AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=所以sin∠AOH=
2，BO=OD=3，
M A H D
3方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系， …
（14分）
O N
2C B
Q（0，0，0），B（????所以BO?（?62，0，0），D（0，
22，2），O（0，?2，1）
62，?22????，1），DO?（0，?2，?1)
????????所以BO?DO?0，即BO⊥DO（5分）
?（2）设平面BOD的法向量是n?(x,y,z)，可得?62x?22y+z=0
M P D A Q C ?2y?z=0，令y??2可得x??6,z??2所以n?(?6,2,?2)
O N ????又AO?（?62，?22，?1)，
设AO与平面BOD所成角为?
????????2sin??cos?AO,n?=（14分）
3B
19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得
cosAcosB?sinBsinA，?????????????2分
整理为sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B ?????????3分 又因为0?2A,2B?2?
∴2A?2B或2A?2B??，即A?B或A?B??2?????6分
∵
ba?31， ∴A?B舍去，故A?B??2?2
由A?B?可知C??2，∴?ABC是直角三角形?????6分
3， ?????7分
(2)由(1)及c?2，得a?1，b?设?PAB??(?6????2)，则?PAC????6， ?????8分
在Rt?PAB中，PA?AB?cos??2cos? 所以
S?PAC??12PA?AC?sin(???6)?12?2?cos??3?sin(???6)
3?cos??sin(???6) ?????10分
?3cos?(sin??1332?cos??)?cos?sin??cos? 22221?cos2?2123?34sin2??32?
?3232(32sin2??cos2?)?34 ?sin(2???6)?34 ?????????12分
?6?5?6因为
?6????2所以
?6?2??，
34当2???6??2，即???3时，S?PAC最大值等于
.?????????????14分
20．(本题满分14分) 解：（1）由已知，得(x?1)?y2?x22?22，??????????1分.
将两边平方，并化简得
x22?y?1， ??????????3分.
2故轨迹C1的方程是
x22?y?1。 ??????4分.
2（2）由已知可得AF?22(2?x1)，BF?22
(2?1)，CF?22(2?x2)，
因为2BF?AF?CF，所以
22(2?x1)?22(2?x2)?2?22(2?1)，
即得x1?x2?2， ① ??????????5分. 故线段AC的中点为(1,y1?y22)，其垂直平分线方程为y?y1?y22??x1?x2y1?y2(x?1)， ②
??????????6分.
因为A,C在椭圆上，故有
x122?y1?1，
2x222?y2?1，两式相减，
2得：
x1?x2222?y1?y2?0 ③
x1?x2y1?y22(y1?y2)x1?x222将①代入③，化简得???y1?y2， ④ ?????????7分.
将④代入②，并令y?0得，x?2?012?11，即T的坐标为(,0)。?????????8分. 22所以kBT?21?2. ?????????9分.
设P?x1,y1?、Q?x2,y2?，直线PQ的方程为y?kx?m
?y1?kx1?m?因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，从而有?x2y21?1?1??21(1)(2)
将（1）代入（2）得?2k2?1?x2?4kmx?2?m2?1??0 ???10分. 由于直线PQ与椭圆C1相切，故???4km??4?2?m?1??2k?1??0
2222从而可得m?1?2k，x1??22km （3）
同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得
22m?r?1?k?，x22??krm2
k?2?rm2（4）????????12分
由（3）、（4）得k?2r?12?r22，x2?x1??
所以PQmr22??x2?x1???y2?y1???1?k2222??x2?x1?
2?2?k2?2?rm22?2??2?rr22?22?r?12?r22
??2?r??r2?1?r2?3?r?2r22?3?22?(2?1) ??????????13分.
2即PQ?2?1，当且仅当r?2时取等号，
故P、Q两点的距离PQ的最大值2?1. ??????????14分. 21．(本题满分14分) 解：（１）f?(x)?1x?1?m. 由f?(0)?0，得m??1，此时f?(x)??xx?1.
当x?(?1,0)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(?1,0)上单调递增； 当x?(0,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(0,??)上单调递减.
?函数f(x)在x?0处取得极大值，故m??1.??????????3分
f(x1)?f(x2)x1?x2（２）令h(x)?f(x)?g(x)?f(x)?(x?x1)?f(x1)，???????4分
则h?(x)?f?(x)?f(x1)?f(x2)x1?x2.
Q函数f(x)在x?(x1,x2)上可导，?存在x0?(x1,x2)，
使得f?(x0)?f(x1)?f(x2)x1?x2.
Qf?(x)?1x?1?1，?h?(x)?f?(x)?f?(x0)?1x?1?1x0?1?x0?x(x?1)(x0?1)
Q当x?(x1,x0)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，?h(x)?h(x1)?0； Q当x?(x0,x2)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，?h(x)?h(x2)?0；
故对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x).??????????8分 （３）用数学归纳法证明.
①当n?2时，Q?1??2?1，且?1?0，?2?0，