的中垂线与PF1交于M点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系． 21．（本小题满分14分）
设函数f(x)?x3?ax2?bx(x?0)的图象与直线y?4相切于M(1,4)． （1）求y?f(x)在区间?0,4?上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s,t(s?t)，当s?x?t时，函数f(x)?x3?ax2?bx的值域是?s,t?，若存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；
2012届高中毕业班第二次模拟试题
数 学（理科）参考答案
一、选择题 1B解析：
2z?z?21?i?(1?i)?2?2i
2C解析：因为N?{y|y?1}，M3D
????1????AC21?N?[1,3)
????????????解析：如图所示，AC?AB?AD=(－2，3)+(3，7)=(1，10).
∴OC==(，5).∴CO=(?2????12，－5).
4B解析：①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到近18亿，②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误． 5A解析：?是锐角则有cos??1?sin2?，但cos??1?sin2?时，?不一定是锐角。 6A解析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为22的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长。设正方形的边长为a，则2a2?(22)2，即a?2，所以，长方体的体积为V1?2?2?4?16,球的体积为V2故几何体的体积为V7C解析：画出y?V1?V2?16?x?43???1?34?3
4?3.
2?|f(x)|?|2?1|与y?g(x)?1?x的图象,它们交于A、
B两点.由“规定”，在A、B两侧, |f(x)|?g(x)故h(x)?|f(x)|；在A、B之间, |f(x)|?g(x),故h(x)??g(x).
综上可知, y?h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. 8A解析: A正确，令
1111x?0，得f()?f(0)?0．所以f()??f(0)．若f(0)?0222212)?f(0)??122，显然f(x)?0有实数根；若f(0)?0，f(在(0,12)又因为f(x)的函数图象是连续不断，所以f(x)(f(0))<0．
12?上必有实数根．因此任意的“同伴函数”必有根，即任意“
12?同伴函数”至少有一
个零点．
B错误．用反证法，假设f(x)?x2是一个“??同伴函数”，则(x??)2??x2?0，即
(1??)x?2?x???0对任意实数x成立，所以??1?2????0，而此式无解，所以
2． f(x)?x不是一个“??同伴函数”
222C错误.因为f(x)?log2x的定义域不是R.
D错误，设f(x)?C是一个“??同伴函数”，则(1??)C?0，当???1时，可以取遍实数集，因此f(x)?0不是唯一一个常值“??同伴函数”． 二、填空题 9解析：?x|x???3?? 2? 当x??3时，有?(x?3)?(x?3)?3得?6?3，无解.
当?3?当xx?3时，有x?3?x?3?3，x?32，∴
32?x?3.
?3时，有x?3?(x?3)?3，即6>3，∴x?3.综上，有x?32.
10．（1）处应填i?30（3分）；（2）处应填p?p?i（2分）
解析：该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为i?30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i?1，,第i?1个数比其前一个数大i，故应有p?p?i.故(1)处应填i?30；（2）处应填p?p?i 11解析：
35（3分），
13（2分） （1）?随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9
?C9C4件正品，?第一天通过检查的概率为P故第二天通过检查的概率为P12解析：3x?y?2?0?C8C41410?35（.2）由第三项的二项式系数为C52?10?5n?n?2，
1410?13.
2. y??3x?6x?6?3(x?1)?3?3.
2当x??3??1时，ymin；当x??1时，
.
13解析：?1. 画出图形，由题意l2与圆C只一个交点，说明l2是圆C的切线，由于
PM2y??5. ∴切线方程为y?5?3(x?1)，即3x?y?2?0?PC2?CM2?PC2?16，所以要|PM|最小，只需|PC|2最小，即点C到l1的距离
5?0?31?m2?81?m2，所以|PM|的最小值为???????16?42?1?m?8，解得m??1．
14解析
??x2?y2?4???2?x??21：由??????cos??sin??0?y??x??y?2?sin??0?tan???1，因为0????或???x?2??y??2（舍去）得?2,??3???4?
??3???4?解析2：由cos?，所以??3?4，故交点的极坐标为?2,
15解析：连接BD，BD与EC相交于点F，设?1??CED，?2??DFE
??1??A??ACE,?2??CDB??ECD，?CDB??A，
?ECD??ACE，??1??2，而?ADB?90?，??CED?45°.
三、解答题
16．（本小题满分12分）
解：（1）连结DE，在?CDE中，?DCE?360o?90o?15o?105o?150o，
So?BCD?12DC?CE?sin15?01?sion?312012??2（平方百米）14 （2）依题意知，在RT?ACD中，AC?DC?tan?ADC?1?tan60o?3 分）
在?BCE中，?CBE?180o??BCE??CEB?180o?105o?45o?30o
由正弦定理BCsin?CEB?CEsin?CBE 得BC?CEsin?CEB?1sin30o?sin45osin?CBE??2 ∵cos15o?cos(600?45o)?cos600cos45o?sin600sin45o
?1232?622?2?2?2?4 在?ABC中，由余弦定理AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB 可得AB2?32?22?23?2?6?24?2?3 ∴AB?2?3（百米） 17．（本小题满分12分） 解：（1）?可能的取值为0，1，2，3，4. 13P(??0)?11C4?(??1)?C4C4?16C224C4870，PC4870，P(??2)?C4?36，
87031P(??3)?C4C4?161C4，P(??4)?C4?1
870870即?的分布列为
? 0 1 2 3 4 P 11670 70 3670 1670 170 ?的数学期望为E(?)?0?11670?1?70?2?3670?3?1670?4?170?2
（2）品种A的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：
（1分）
（4分）
5（6分）
（7分）
（8分）
（9分）
10分）
11分）
（12分）
（1分）
4分）
6分）
（ （ （ （（
xA?2181n(101?97?92?103?91?100?110?106)?100 （7分）
sA??1?32?8?3?9?0?10?622222??37.4 （8分）
品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：
xB?2181n(115?107?112?108?111?120?110?113)?112 （9分）
sB??32?5?0?4?1?8?2?1??14.72222 （10分）
由以上结果可以看出，品种B的样本平均数大于品种A的样本平均数，且品种B的样本方差小于品种A，故应该选择种植品种B. （12分） 18．（本小题满分14分）
（1）证明：AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点， ∴AC垂直圆柱的底面，即AC?平面BDF， （1分） ∵BE?平面BDF，∴BE?AC （2分） ∵DE是圆柱上底面的直径，∴BE?BD （3分） ∵AC?平面ACD，BD?平面ACD，且AC?BD?B （4分） ∴BE⊥平面ACD （5分） （2）解：DE是圆O的直径，∴?DBE是直角，DE?BF?2AB?4
设BD?x,(0?x?4),在直角三角形BDE中，BE?DE2?BD2?16?x2?0，（6分）
1212x?16?x4222S?DBE?BD?BE?x16?x?2?4， （8分）
当且仅当x?16?x2，即x?22时“?”成立， （9分） ∵三棱锥D?BCE的体积等于三棱锥C?DBE的体积，而三棱锥C?DBE的高BC∴三角形BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，
?2，
此时，BD?BE?22，即三角形BDE是等腰直角三角形 （10分） ∴BO?DE
∵AC?DE，∴DE?平面AOC （11分） 连结CO，AO， 从而有CO?DE,AOBCBO?DE，∴?AOC是二面角C??BOC??AOB?DE?A的平面角 （12分）
在三角形AOC中，?AOC又tan?BOC??22
??1，0??BOC??2，∴?BOC?4
同理可得?AOBcos?AOC?cos??4，∴?AOC??2 （13分）
?DE?A?2?0，即二面角C的平面角的余弦值为0. （14分）
（若考生用其它方法进行解答，可参照上面的评分标准给分） 19．（本小题满分14分）
解：（1）由题意，当n两式相减，得an?1?an所以，当n则只需
a2a1??an?1?2Sn?1， ?2时，有?a?2S?1n?1?n （1分）
?2an,即an?1?3an(n?2)，
（2分）
?2时，?an?是等比数列，要使n?1时?an?是等比数列，
2t?1t?3，从而得出t?1． （4分）
?3（2）由（1）得，等比数列?an?的首项为a1?1，公比q∴bn∴Tn?nan?n?30n?1，∴an?3n?1 （5分）
（6分）
2n?2?1?3?2?3?3?3???(n?1)?3121?n?33n?1 ① （7分）
n?1上式两边乘以3得3Tn①－②得?2Tn∴Tn?2n?1401?1?3?2?3?3?3???(n?1)?3?n?3n ② （8分）
?3?3?3???32n?1?n?3n （9分）
?3?n14 （10分）
?n?3n?1（3） 由（2）知bn∵c1?1?41??3，∵cn?13?1?4bn
，c24??1?42?3，∴c1c2??1?0 （11分）
?0，
∵cn?1?cn?4bn?1bn?4(2n?3)n(n?1)?3n∴数列{cn}递增. （12分） 由c2?13?0，得当n?2时，cn>0. （13分）
∴数列{cn}的“积异号数”为1. （14分） 20．（本小题满分14分）
解：（1）由题意得，F1??3,0?,F2?3,0? （1分） 圆F1的半径为4，且|MF2|?|MP| （2分） 从而|MF1|?|MF2|?|MF1|?|MP|?4?|F1F2|?23 （3分） ∴ 点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a?4,焦距2c?23，
则短半轴b?a2?c2?4?3?1， （4分） 椭圆方程为:
x24?y?1 （5分）
2