又点P、Q在曲线C：x?4y上，所以可设P(x1,分
而直线AP，AQ的倾斜角互补，
x122x142)，Q(x2,x242)， ????6
4??44，整理得x?x??2x． ????8所以它们的斜率互为相反数，即4120x1?x0x2?x0?x02x22?x02分
x224?x1?x2??2x0??x0为定值． ??????10所以直线PQ的斜率kPQ?4x2?x1442?x12分
②（法1）由①可知，P(?x0?4k,kPQ??x02(?x0?4k)4(?x0?4k)422)，Q(?x0?4k,??x02(x0?4k)42)，
，所以直线PQ的方程为y?(x?x0?4k)，
22整理得2x0x?4y?x0?16k?0． ??????????????11
分
设点B(x,x24)在曲线段L上，因为P、Q两点的横坐标分别为?x0?4k和?x0?4k，
所以B点的横坐标x在?x0?4k和?x0?4k之间，即?x0?4|k|?x??x0?4|k|，
22所以?4|k|?x?x0?4|k|，从而(x?x0)?16k．
|2x0x?4?x2点B到直线PQ的距离d?2420?x0?16k|?222|x?2x0x?x0?16k|2x?420222
4x?16?|(x?x0)?16k|2x?420??12x?420(x?x0)?216k202． ???12
2x?4分
当x??x0时，dmax?16k202．
x0422x?4注意到?x0?4|k|??x0??x0?4|k|，所以点(?x0,所以，点B的坐标是(?x0,分
（法2）由①可知，kPQ??x02)在曲线段L上．
x042)． ???????????????????????14
，结合图6－3可知，
yPF?'
lA?MB
若点B在曲线段L上，且点B到直线PQ的距离最大， 则曲线C在点B处的切线l//PQ． ??????11分
x0?x?b?y??设l：y??， x?b，由方程组?22?x2?4y?x0消去y，得x2?2x0x?4b?0．
令△?(2x0)?4?1?(?4b)?0，整理，得b??代入方程组，解得x??x0，y?所以，点B的坐标是(?x0,分
（法3）因为抛物线C：x2?4y关于y轴对称，
由图6－4可知，当直线AP的倾斜角大于0?且趋近于0?时，直线AQ的倾斜角小于180?且趋近于180?，即当直线AP的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ的斜率小于0且趋近于0．
从而P、Q两点趋近于点A(x0,x0422x042．??12分
x0422．
x04)． ???????????????????????14
)关于y轴的对称点A'(?x0,x042 ??????11分 )．
y由抛物线C的方程x2?4y和①的结论， 得y?x24，y?|x??x?0x2x??x0??x0220?kPQ．
F?'P1lP2P3所以抛物线C以点A'(?x0,x)为切点的切线l//PQ． 4????????12分
AM?所以曲线段L上到直线PQ的距离最大的点就是点A'，
?BQ3Q2即点B、点A'重合． 所以，点B的坐标是(?x0,21．（本小题满分14分）
x20FQ1xO4)． ?????14分
图6?4已知函数f(x)?x?xlnx，g(x)?f(x)?xf?(a)，其中f?(a)表示函数f(x)在x?a处的导数，a为正常数．
（1）求g(x)的单调区间；
（2）对任意的正实数x1,x2，且x1?x2，证明：
(x2?x1)f?(x2)?f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)；
（3）对任意的n?N*，且n?2，证明：
1ln2?1ln3???1lnn?1?f(n?1)ln2?lnn．
解：（1）f'(x)??lnx，g(x)?x?xlnx?xlna，
g?(x)?f?(x)?f?(a)??lnx?lna?lnax． ??????????????2
分
所以，x?(0,a)时，g'(x)?0，g(x)单调递增； x?(a,??)时，g'(x)?0，g(x)单调递减．
所以，g(x)的单调递增区间为(0,a]，单调递减区间为[a,??)． ????????4分
（2）（法1）对任意的正实数x1,x2，且x1?x2， 取a?x1，则x2?(x1,??)，由（1）得g(x1)?g(x2)， 即g(x1)?f(x1)?x1f?(x1)?f(x2)?x2f?(x1)?g(x2)，
所以，f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)??①； ?????????6分
取a?x2，则x1?(0,x2)，由（1）得g(x1)?g(x2)， 即g(x1)?f(x1)?x1f?(x2)?f(x2)?x2f?(x2)?g(x2)， 所以，f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x2)??②．
综合①②，得(x2?x1)f?(x2)?f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)． ?????????8分
（法2）因为f'(x)??lnx，
所以，当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,??)时，f?(x)?0．
故f(x)在(0,1]上单调递增，在[1,??)上单调递减．
?x1??所以，对任意的正实数x1,x2，且x1?x2，有f??x??f(1)，?2??x2??f??x??f(1)． ?????6?1?分
?x1?xxx??f(1)，得2?2ln2?1，即x2?x1?x2(lnx2?lnx1)?0， f由??x?x1x1x1?2?所以f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)?x2?x1?x2(lnx2?lnx1)?0． 故f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)．??①；
?x2??f由??x??f(1)，同理可证f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x2)．??②． ?1?综合①②，得(x2?x1)f?(x2)?f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(x1)． ?????????8分
（3）对k?1,2,?,n?2，令?k(x)?lnxln(x?k)x2ln(x?k)lnx（x?1），则
?k'(x)?x?k?(lnx)?xlnx?(x?k)ln(x?k)x(x?k)(lnx)2，
显然1?x?x?k，0?lnx?ln(x?k)，所以xlnx?(x?k)ln(x?k)， 所以?k'(x)?0，?k(x)在(1,??)上单调递减． lnnln(2?k)由n?k?2，得?k(n?k)??k(2)，即． ?ln(n?k)ln2所以ln2lnn?ln(2?k)ln(n?k)，k?1,2,?,n?2． ???????????10分 所以2??1?ln2?1ln3????1??11??111??1??????????????? ??lnn??ln2lnn??ln3ln(n?1)?lnnln2???lnn?ln2ln2lnnlnn?ln2ln2lnn?ln(n?1)?ln3ln3ln(n?1)ln(n?1)?ln3ln2lnn???ln2?lnnlnnln2ln2?lnnln2lnn
?????
?ln2?ln3???lnn??2??． ????????????12
ln2lnn??分
又由（2）知f(n?1)?f(n)?f'(n)??lnn，所以lnn?f(n)?f(n?1)．
ln1?ln2???lnn?f(1)?f(2)?f(2)?f(3)???f(n)?f(n?1)
?f(1)?f(n?1)?1?f(n?1)．
所以，分
1ln2?1ln3???1lnn?ln2?ln3???lnnln2lnn?1?f(n?1)ln2lnn．????????14