??1x1??2x2?(x1,x2)，?由（Ⅱ）得f(x)?g(x)，即
f(?1x1??2x2)?f(x1)?f(x2)x1?x2(?1x1??2x2?x1)?f(x1)??1f(x1)??2f(x2)，
?当n?2时，结论成立. ??????????9分
②假设当n?(k?k2时)结论成立，即当?1??2?L??k?1时，
f(?1x?1?2x?L2??k)xk??(1f)x1??L(2f?1?)x?2k?1时，设正数??. k当(nf?k)x?1,?2,L,?k??1??1m,?2?1满足
?1??km?L?2k?，?令
m??1??2?L??k，
?2m,L,?k?， 则m??k?1n?1，且?1??2?L??k?1.
f(?1x1??2x2?L??kxk??k?1xk?1) ?f[m(?1x1?L??kxk)??k?1xk?1] ?mf(?1x1?L??kxk)??k?1f(xk?1) ?m?1f(x1)?L?m?kf(xk)??k?1f(xk?1)
??1f(x1)?L??kf(xk)??k?1f(xk?1) ??????????13分
?当n?k?1时，结论也成立.
综上由①②，对任意n?2，n?N，结论恒成立. ??????????14分
肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第二次模拟试题
数 学（理科）
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题
卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
11．参考公式：锥体的体积公式V?Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高
32 球的表面积公式S?4?R，体积公式V?43?R其中R为球的半径
32．样本数据x1,x2,???,xn的样本方差s2?1n222其中x[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]，
为样本平均数．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
21．设z?1?i（i是虚数单位），则?z? zA．2?2i B．2?2i C．3?i D． 3?i
22．若集合M?{x|?2?x?3},N?{y|y?x?1,x?R}，则集合M?N?
A. (?2,??) B. (?2,3) C. [1,3) D. R 3．已知为
A.????1?1??1???1?,5? B. ?,5? C. ?,?5? D. ??,?5? 2??2??2??2?????????ABCD中，AD?(3,7)，AB?(?2,3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标
4．给出以下三幅统计图及四个命题：
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.
其中命题正确的是 A．①②
B．①③
C. ①④
D．②④
5. “?是锐角”是“cos??1?sin2?”的
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6. 已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为
4?A. 16?
3B. 16?32? 8?C. 32?
3D. 32?8?
7. 已知f(x)?2?1，g(x)?1?x，规定：当|f(x)|?g(x)时, h(x)?|f(x)|；当
|f(x)|?g(x)时, h(x)??g(x)，则h(x)
x2A. 有最小值?1,最大值1 B. 有最大值1,无最小值 C. 有最小值?1,无最大值 D. 有最大值?1,无最小值
8．若对于定义在R上的函数f(x)，其函数图象是连续的，且存在常数?（??R），使得
则称f(x)是“??同伴函数”．下列关于“??f(x??)??f(x)?0对任意的实数x成立，同伴函数”的叙述中正确的是 A．“
122?同伴函数”至少有一个零点 B. f(x)?x是一个“??同伴函数”
C. f(x)?log2x是一个“??同伴函数” D. f(x)?0是唯一一个常值“??同伴函数”
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）
9．不等式|x?3|?|x?3|?3的解集是 ▲ . 10．在数列{an}，a1?1，an?1?an?n，要计算此数列前30项的和，现已
给出了该问题算法的程序框图（如图2所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能. （1） ▲ （2） ▲
11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、n件次
品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 则第一天通过检查的概率是 ▲ ；若(1?2x)5的第三项的二项式系数为5n，则第二天通过检查的概率 ▲ . 12．曲线y?x?3x?6x?1的切线中，斜率最小的切线方程为_ ▲_.
2213．若点P在直线l1:x?my?3?0上，过点P的直线l2与圆C:(x?5)?y?16只有一个公
32共点M，且|PM|的最小值为4，则m? ▲ ．
（ ） ▲
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线??2与cos??sin??0（0????）
的交点的极坐标为 ▲
15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的
切线CD，切点为D，?ACD的平分线交AD于E,则?CED? ▲ .
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
如图4，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：?ACD?90?，?ADC?60?，?ACB?15?，?BCE?105? ，?CEB?45?，DC=CE=1（百米）.
（1）求?CDE的面积；
（2）求A，B之间的距离.
17.（本小题满分12分）
“肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名。”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．
（1）假设n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为?，求?的分布列和数学期望；
（2）试验时每大片水塘分成8小片，即n=8，试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表： 号码 品种A 品种B 1 101 2 97 3 92 4 103 5 91 6 100 7 110 8 106 115 107 112 108 111 120 110 113 分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
18.（本小题满分14分）
如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.
（1）求证：BE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.
19.（本题满分14分）
数列{an}的前n项和记为Sn，a1?t，点（Sn，an?1）在直线y（1）若数列?an?是等比数列，求实数t的值；
（2）设bn?nan，在（1）的条件下，求数列?bn?的前n项和Tn；
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci?ci?1?0的整数i的个数称为这个数列
{cn}的“积异号数”，令cn??2x?1上，n∈N*．
bn?4bn（n?N?），在（2）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”.
20.（本小题满分14分）
已知点P是圆F1：(x?3)?y22?16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2