Chapter 4
Vortex Theory and Potential Theory
第四章 漩涡理论与势流理论
流体由于具有易变形的特性，因此流体的流动要比刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度??0的流动，无旋流动是指?=0 的流动。实际上，粘性流体的流动大多数是有旋流动。流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，在流体力学中无旋流动的研究具有重大的意义。对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。
本章首先对流体微团的运动进行分析，同时得出无旋运动和有旋运动的概念。然后讨论理想流体运动的基本方程和求解。在此基础上本章侧重讨论旋涡基本理论和平面势流基本理论。
4.1 流体微团的运动分析
在流体流动时，流体微团除了可以像刚体那样平动和转动之外，还伴有变形运动，如图4-1所示。由于有变形运动，流体微团的旋转也不像刚体转动那样简单。如果从流体微团中引出若干条直线，它们的旋转角速度可以各不相等，所以流体微团的旋转角速度是指过同一点，若干条直线旋转角速度的平均值。
由于流体所具有的易流动性，流体微团即使是在一个很小的力的作用下，只要时间足够长，就可以发生足够大的变形。因此，在
对流体微团进行变形 Fig. 4-1 流体微团运动
运动分析时，不是看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。作为分析流体微团运动的基本量，引入线变形速度?，剪变形角速度?和平均旋转角速度?。
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4.1.1 线变形速度
如图4-2所示，首先考虑最简单的一维流动情况。在t时刻，在x轴上取一微A点的速度为vx，B点的速度可表示为小线段AB=?x，按泰勒级数展开，
，
经过? t时间之后，AB线段运动到新的位置A’B’。AB线段经过? t时间之后，其长
度的改变量为
Fig. 4-2 Linear Deformation Velocity
单位长度在单位时间内长度的改变量为
(4.1)
把?x叫做线段AB的线变形速度。
?x是正值时为拉伸，负值时为压缩。将上述推广到三维空间的情况。三维空间的流体微团，不仅具有x方向上的线变形速度，还有y方向和z方向上的线变形速度。在三维空间中，流体微团的速度是空间坐标的函数，即
所以，流体微团在x、y、z方向上的线变形速度分量分别为
(4.2)
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下标x、y、z表示变形发生的方向。所以流体微团的线变形速度是单位长度在单位时间内长度的改变量。
Fig. 4-3 Fluid Element Deformation
若在流场中取一平行六面体的流体微团，如图4-3所示，图(a)为初始状态。作为一种特殊情况，当时，流体微团变形之后仍为平行六面体，当
时，为膨胀变形，变形如图(b)所示，当
时，为压缩变
形。当时，变形情况如图(c)所示。对于不可压缩流体，由于在变形过程中，体积不发生改变，所以有
展开上式，并略去高阶无穷小量，得 即 或
这就是不可压缩流体的连续性方程，与方程(3.29)一致。
4.1.2 剪变形角速度
首先仍以最简单的平面问题为例。如图4-4所示，图中OACB为初始状态的流体微团。
经过?t时间之后，流体微团变形如图4-4（b）中虚线所示，OB边转过的角度为?，OA边转过的角度为?。
Fig.4-4
??dx?
(4.3a)
(4.3b)
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在?t时间内，流体微团中直角?AOB的改变量的一半为
单位时间内改变量的一半为
对于三维空间，类似有
(4.4)
上式就是流体微团的剪变形角速度。剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半。下标x、y、z表示剪切变形发生面的法线方向。
4.1.3 平均旋转角速度
由于流体微团在运动过程中发生变形，在流体微团中某一点引出的若干条直线所转过的角度各不相等。流体微团的旋转，是指过同一点，若干条直线旋转的平均值，等于过该点的直角角平分线转过的角度。在图4-4中，当?=?时，角平分线没有发生转动，这是一种纯剪切运动状态。作为一般情况，如图4-5所示，矩形OACB是初始位置。经过?t 时间之后，流体微团运动到OA’C’B’，根据几何关系，在?t时间内，
角平分线转过的角度 Fig. 4-5
单位时间内角平分线转过的角度为
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将这一结果推广到三维空间，则有
(4.5)
上式就是流体微团的平均旋转角速度三个分量表达式。
可将方程(4.5)用矢量式表示为
(4.6)
流体微团在运动过程中，可同时发生线变形运动，剪切变形运动和旋转运动。而线变形速度、剪变形角速度、平均旋转角速度分别是度量这三种运动的特征量。 Example 4.1
It is known that the velocity distribution of a planar flow field is
.
Analyze the deformation and rotation happen during the motion of fluid element. 例4．1
已知平面流场的速度分布为 试分析流体微团在运动过程中所发生的变形与旋转。
Solution:
Linear deformation velocity 解：线变形速度
Angular velocity of shearing deformation 剪变形角速度
Average angular rotating velocity 平均旋转角速度