Chapter 4
Vortex Theory and Potential Theory
例4.3 一流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即，其中C为常数，如图4-12所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。
Solution:
The velocity circulation along the boundary of the sector area is 解：沿扇形面积周界的速度环量
Fig. 4-12 Example 4.3
It can be seen that flow in this region is irrotational. This conclusion may be popularized to any area that does not include the circle center O, such as A’B’C’D’A’. If the area includes point O( r=0), since its velocity is infinite, it should be disposed as an exception. Now we calculate the velocity circulation along a closed circumference of radius r
可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如A’B’C’D’A’。若包有圆心( r=0)，该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径r的圆周封闭曲线的速度环量
The above expression demonstrates that the velocity circulation along any circumferential curve in flow field will not be zero, and equals a constant, therefore the flow is rotational. But the velocity circulation along any circumference that does not include point O must equal zero, circle center is an isolated vortexpoint, and is called singular point.
上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
4.3 无旋流动的速度势函数
如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度?在任意时刻处处为零，即满足
的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。
4.3.1 速度势函数引入
由数学分析可知，是成为某一标量函数
全微分的充分必要条件。则函数?称为速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数?的流动为有势流动。根据全微分理论，势函数?的全微分可写成
于是有
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(4.15)
按矢量分析
(4.16)
对于圆柱坐标系，则有
(4.17)
从而
从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数?。
4.3.2 速度势函数的性质
1. 不可压缩流体的有势流动中，势函数?满足拉普拉斯方程，是调和函数。 将式(4.15)代入到不可压缩流体的连续性方程(3.29)中，则有
(4.18)
式中为拉普拉斯算子，式(4.18)称为拉普拉斯方程，所以在不可
压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。
从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。
2. 任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数?值之差，而与曲线的形状无关。
根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，即。
3. 等势面与流线垂直
将流场中速度势相等的点连接起来，形成一个三维曲面，称为等势面。在平面流动中，称为等势线。在等势面上
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?（x，y，z）= C 或 因为 代入上式，得
(4.19) 即
因为dl是等势面上的有向线段，所以上式说明等势面与流线垂直。
4. 速度势在任何方向上的偏导数，等于速度在该方向上的投影。 根据数学上方向导数的概念，速度势?在任意方向l上的方向导数为
所以
4.4 平面流动的流函数
4.4.1 流函数的引入
对于流体的平面流动，其流线的微分方程为
(4.20)
在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程，即
或
由数学分析可知，式（4.21）是以表示该函数，则有
函数?称为流场的流函数。由式(4.22)可得
由式(4.22)，令d?=0 ，即?=常数，可得流线微分方程式(4.20)。由此可见, ?(x,y)=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要
vv??xd? (4.21)
成为某函数全微分的充分必要条件，
(4.22)
(4.23)
，将其改写成下列形式
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给定流场中某一固定点的坐标（x0,y0）代入流函数?，便可得到一条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。
对于极坐标系，方程（4.22）与（4.23）可写成
(4.24)
(4.25) 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势一样，可由曲线积分得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数?(x,y) ，由式(4.23)或式(4.24)就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体，必然存在流函数?。
这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，但流线还是存在的。
4.4.2 流函数的性质
1. 对于不可压缩流体的平面流动，流函数?永远满足连续性方程。
将式(4.23)代入式(4.21)，得
即流函数永远满足连续性方程。
2. For planar potential flow of incompressible fluid, stream function ? satisfies Laplace’s equation, and is a harmonic function.
对于不可压缩流体的平面势流，流函数?满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。
对于平面无旋流动，因为，则
将式(4..23)代入上式，得
It is clear that the stream function of incompressible irrotational planar flow also satisfies Laplace’s equation, and is a harmonic function. 可见，不可压缩流体平面无旋流动的流函数
也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。 Fig.4-13 Stream Function
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因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的拉普拉斯方程。
3. 平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数?的物理意义。
如图4-13所示，在两流线间任取一曲线AB，则通过曲线AB单位厚度的体积流量为
(4.26)
由式(4.26)可知，平面流动中两条流线间单位宽度通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。
4.4.3 ?和?的关系
1. 满足柯西-黎曼条件
如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(4.15)和式(4.23)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系
(4.27)
这是一对非常重要的关系式，在高等
(4.28)
数学中称作柯西-黎曼条件。因此，?和?互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样有力的工具求解此类问题。
当势函数?和流函数?二者知其一时，另一个则可利用式(4.27)的关系求出，而至多相差一任意常数。
1. 流线与等势线正交
Fig. 4-14 Flow Net