Chapter 4
Vortex Theory and Potential Theory
4.2 理想流体的有旋流动和无旋流动
4.2.1 有旋流动和无旋流动的定义
流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。在图4-6(a)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动；在图4-6(b)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动。
Fig. 4-6 Rotational and Irrotational Flow
速度场是一个矢量场，根据矢量场的旋度的概念，速度矢量的旋度为
将上式与平均旋转角速度相比较，得
(4.7)
所以，平均旋转角速度不仅是分析流体微团在运动过程中旋转运动的特征量，也是判断流体流动是有旋流动还是无旋流动的标准。
判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足
即
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对于无旋流动 ?=0 or或 rotv=0
对于有旋流动 ??0 or或 rotv?0
4.2.2 旋涡的基本概念
在第三章我们给出了描述速度场的流线、流管、流量等基本概念。速度场和旋涡场都是体现流动特征的矢量场，因此，描述速度场和旋涡场的基本概念之间，具有一一对应的关系。例如
速度场（v） 旋涡场（?） 速度 平均旋转角速度 流线 涡线 流管 涡管
这样，就很容易理解旋涡的一些基本概念了。
1. 涡线
某一瞬时的涡线是这样的一条曲线，在该曲线上各点的平均旋转角速度矢量与该曲线相切，如图4-7所示。与流线一样，在定常流场中，涡线的形状保
持不变，在非定常流场中，涡线的形状是变化的。 Fig. 4-7 Vortex Line 类似流线方程，涡线的方程可写为
2. 涡管
在旋涡场中通过任一不是涡线的封闭曲线的 每一点作涡线，这些涡线所形成的管状表面称为涡管，如图4-8所示。 3. 涡束
截面积无限小而强度(涡通量)为有限值的 涡管。
Fig. 4-8 Vortex Bunch
4.2.3 速度环量
为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一——速度环量。
在流场中任取封闭曲线K，如图4-9所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为 速度沿封闭曲线K的环量，简称速度环量，用?表示，即
(4.8)
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式中 —在封闭曲线上的速度矢量； ?—速度与该点上切线之间的夹角。
速度环量是个标量，但具有正负号。速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧，如图4-7所示。当沿顺时针方向绕行时，式(4.8)应加一负号。实际上，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反
映的是流体的有旋性。 Fig.4-9 Velocity Circulation
由于和，则
代入式（4.8），得
(4.9)
4.2.4旋涡强度
沿封闭曲线Ｋ的速度环量与有 旋流动之间有一个重要的关系，现仅
以平面流动为例找出这个关系。如图 4-10所示，在平面Oxy上取一微元矩形封闭曲线，其面积 A=dxdy，流体在A
点的速度分量为vx和vy，则B、C和D点的速度分量分别如下：
、
、 Fig. 4-10
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于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量
将点的速度值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，根据方程(4.5)的第三式，
(4.10)
得
然后将式(4.10)对面积积分，得
(4.11)
上式即为所谓的反映速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理，其表明：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度I，即
或
(4.12)
式中?n—?在微元面积dA 的外法线n上的分量。
由式(4.8)可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以表示之。它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在z轴方向的分量为
对于流体的三维流动，同样可求得x和y轴方向涡量的分量。于是得
即
(4.14)
这意味着，在有旋流动中，流体流动速度的旋度称为涡量。
由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。
?dI (4.13)
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在此举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流动和无旋流动的区别。
Example 4.2
As shown in Fig. 4-11, a flow rotates counterclockwise like a rigid body at angular velocity ?. Find velocity circulation along a closed curve in the flow field, and demonstrate
the flow is rotational flow. 例4.2 一个以角速度?按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图4-11所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并
证明它是有旋流动 . Fig. 4-11 Example 4.2
Solution:
Randomly take two circles of radius r1and r2 in flow field, their velocities are
and respectively, velocity circulation along the circumference
ABCDA of the sector area highlighted by inclined lines is
和解：在流场中对应于任意两个半径r1和r2的圆周，其速度各为 ，
沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量
It is obvious that flow in the region is rotational. Since the sector area is 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积
Thus
于是
The above equation is just a demonstration of Stocks theorem, and the conclusion may be popularized to any region in the circle.
上式正是斯托克斯定理的一个例证，以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
Example 4.3
A planar flow rotates concentrically about point O, the magnitude of peripheral velocity at each point is in inverse proportion to radius, that is , where C is constant, as shown in Fig. 4-12. Find the velocity circulation of a closed curve in the flow field, and analyze the flowing status.
vvv?v